Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
^bktJa(Int)K (5)
указанный в теореме 10.8 на стр. 215. Легко видеть, что асимптотическое разложение интеграла (3) можно получить, вычисляя асимптотики интегралов от отдельных членов ряда (5). Воспользовав- 222 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
шись стандартной формулой
= .да
о
i qo
гдеГ(-)—гамма-функция, и заменяя S на ^ , получим ряд (4).
U о
Замечание. Ряд (4) определяет ряд (5). Поэтому эквивалентны задачи исследования асимптотик интегралов метода перевала и интегралов голоморфных форм по классам гомологий непрерывных семейств исчезающих гомологий.
В. Пример. Пусть f = X11+1; X = 0—критическая точка кратности [х. Зафиксируем цепи , ..., Tll, порождающие базис в H1 (X, Х~). Для этого обозначим через E1, ..., ?ц+1 KopHHypaBHeHHHX11+1 = —1, где arg Ey-= я (2/ — l)/(jx-j-l), и положим
Tf равной отрезку ef+l&f; см. рис. 76. Обозначим через (O1 форму Xt-1 dx.
Лемма 3. При I=S^/, /^р.
S Cxf(I)l = Cl Xа,
F/]
где а = (е*+1 — е})Г(//(ц+1))/(ц + 1), а = —//(ц + 1), Г (•)—гамма-функция.
Замечание. Интеграл с фазой х^+1 и произвольной формой со интегрированием по частям сводится к линейной комбинации интегралов с той же фазой и формами о»;, Z = 1, ..., р,. Коэффициентами линейной комбинации служат формальные ряды от 1/т.
Доказательство леммы. Для отрицательных Z обозначим через E1(Z)1 ..., Єц+1(ї) корни уравнения x?+1 = t, где argEy(Z) = = я(2; — l)/(fA-j-1). Для таких Z dt [Гу] представляется О-циклом Ey(Z)—єy+i(Z). О-форма CalZdf равна функции х'^"1/^ +1). Следовательно,
S (OlIdf= (ej+1-e<) IZ |</u"i> + (7)
Теперь лемма 3 следует из леммы 2 и формулы (6).
В заключение отметим важное свойство форм Co1, ..., со^ примера.
Лемма 4. Формы (ojdf, .. ., (OlJdf порождают базис в исчезающих когомологиях в каждом слое расслоения Милнора. Более § II] КОМПЛЕКСНЫЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
223
того,
def/' $ co,/dA = Cjl^,
Vt [Г/]
где 1^/, I ?=? р, Ctx—отличная от нуля константа.
Доказательство. В силу формулы (7) достаточно доказать, ЧТО НЄ существует ОТЛИЧНОГО ОТ НуЛЯ МНОГОЧЛеНа P = U1X+ ...
¦ ¦ • +aIiXix, принимающего равные значения в точках E1, . .., е„+1. Очевидно, что P(E1)= -. . =P(B^1) = (P(S1)+ . . . +Р(е>х+1))/(]1+1)=0. Следовательно, P = 0. Следствие.
где Bvl—отличная от нуля константа.
Замечание. Ниже мы докажем при помощи леммы 4 и ее следствия, что для любой критической точки кратности р. существуют формы Co1, .. ., COjl, которые после деления на дифференциал фазы порождают базис в исчезающих когомологиях в каждом слое расслоения Милнора (см. теорему 12.1).
11.2. Осциллирующий интеграл — частный случай интеграла метода перевала. Рассмотрим функцию f: (С™, 0)—- (С, 0), голоморфную в начале координат и имеющую в начале координат критическую точку. Предположим, что значения функции на вещественном подпространстве IRn с С" вещественны. Такая функция может служить как фазой осциллирующего интеграла по IR", так и фазой интеграла метода перевала. Докажем, что существует расположенная в окрестности начала координат допустимая п.-цепь Г, для которой
при всех ф с носителем в достаточно малой окрестности начала координат. Таким образом, осциллирующий интеграл является частным случаем интеграла метода перевала.
Сделаем три уточнения. Во-первых, равенство выполняется с точностью до слагаемого, убывающего быстрее любой степени параметра т при т —>- оо. Во-вторых, допустимая цепь для интеграла с фазой ixf (вместо т/ как в предыдущем пункте) — это цепь, на границе которой положительна мнимая часть функции f. В-третьих, амплитуда ф должна быть определена не только на R", но и на Г; поэтому равенство (8) будет доказано для амплитуд вида ipo, где г|з — голоморфная функция, а 0 — гладкая финитная функция с носителем, сосредоточенным в достаточно малой окрестности начала координат, и тождественно равная 1 в еще меньшей окрестности начала координат.
Л eixhpdx « ^ eHf<p dx
(8)
г 224 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Согласно теореме 1 асимптотики правого интеграла выражаются через жорданову структуру оператора классической монодромии критической точки. Следовательно, таким же образом связаны с оператором монодромии асимптотики левого интеграла. При этом не важно, что равенство (8) доказано только для аналитических амплитуд ф (см. ниже лемму 5).
А. Изменение определений. В связи с наличием в фазе интеграла (8) числа і изменим (только в этом пункте) определение допустимой цепи. Предположим, что f имеет конечнократную критическую точку в начале координат. Воспользуемся обозначениями из п. 11.1. А и обозначим через S+' полукруг \t 6 5 |Im f >0}. Обозначим через X+i множество X П f~l (S+'). /г-мерную цепь Г er X назовем допустимой, если дГ сг X+'. Две допустимых цепи назовем эквивалентными, если они определяют один класс
в Hn (X, X+'). Интеграл § eix!a> голоморфной /г-формы со по до-
г
пустимой цепи Г назовем интегралом метода перевала. Интегралы по эквивалентным цепям имеют равные асимптотические разложения при X—>- + оо (лемма 1). Переформулируем теорему 1.
