Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2. Пусть со—голоморфная дифференциальная п-форма на X, [Г] ? Hn (X, X+'). Тогда при т—^ -f- оо интеграл
^ eixi(i) разлагается в асимптотический ряд 2 ак а.ха (1пт)4, обла-[гг „ ,
дающии свойствами, указанными в теореме 1.
Б. Теорема 3 (см. [185]). Предположим, что значения функции f вещественны на вещественном подпространстве. Тогда существует класс [Гк] ^ Hn (X, Х+г") (называемый вещественным), который обладает следующим свойством. Пусть 0: С"—* R—бесконечно дифференцируемая функция с носителем в X и тождественно равная 1 в окрестности начала координат. Тогда для любой голоморфной функции ф: Cn-—»-C
^ eixf<$QdxlLA ... Adxntt ^ CexfrCpdx1A ¦ ¦ ¦ Adxn
Fr]
с точностью до слагаемого, являющегося для любого N величиной o(x~N) при т—*+оо.
Следствие теорем 2, 3 (ср. с теоремой 6.3 об асимптотическом разложении). Осциллирующий интеграл J Cix^pdxl Д ...
rn
. .. Ad-Xn разлагается в асимптотический ряд 2 ak. ата(1пт)А при т—> + оо, если амплитуда имеет вид, указанный в теореме 3. В этом ряде параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, зависящих только от фазы и составленных из отрицательных рациональных чисел. А именно, каждое число а обладает свойством: ехр (—2ш'а) —собственное число оператора классической монодромии критической точки фазы, рассматри- §11] КОМПЛЕКСНЫЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ 225
ваемой как голоморфная функция. Коэффициент akt а равен нулю всякий раз, когда у классической монодромии нет жордановых блоков размеров k-\-\ и более с собственным числом ехр(—2яіа).
Замечания. 1. С помощью леммы 5 (см. ниже) указанное условие на амплитуду заменяется условием: носитель амплитуды должен лежать в достаточно малой окрестности начала координат.
2. Интересно было бы описать все вещественные классы 1ГК] для разных вещественных форм одной и той же голоморфной функции f.
В п. 9.2 приведен пример двух комплексно-эквивалентных ростков аналитических функций, у которых разные показатели особости. Следовательно, отвечающие этим вещественным формам вещественные классы по-разному расположены относительно линейных функций, задаваемых интегралами метода перевала на Нп(Х, X+').
Доказательство теоремы 3. Мы построим цепь Tr, представляющую класс [Гк], а затем докажем для нее теорему. Цепь ГR—это часть вещественного пространства IR", 'лежащая в X, с краями, загнутыми в X+'. Края загнуты [вдоль траекторий векторного поля i- gradf.
Прежде чем уточнить построение, приведем~[пример. [Пусть
Рис. 77.
Выберем достаточно малое г > 0 и рассмотрим гладкое векторное поле ? на X, равное нулю при \х \ < г/4 и обладающее свойствами ? (Imf) ^ 0, g(Im/)>0 при х^г/2; см. рис. 77, б.
Пусть Br—это пересечение шара и IR". Для достаточно
малых s > 0 диффеоморфизм ехр (s?) определяет в X диск Br (s) = = ехр (sg) (Br), граница которого лежит в X+'. Следовательно, Br(s) определяет класс в Нп (Х, Х+г), который очевидно не зависит от s. Покажем, что для этого класса справедлива теорема 3.
Мы можем предполагать, что носитель функции 0 лежит в шаре (л:I < Зг/4 и 0 = 1 на шаре |х|^г/2 (изменение функции 0 вне начала координат не меняет асимптотического разложения осциллирующего интеграла).
Теперь, с одной стороны, подынтегральные выражения интегралов Jj e"f(pQdx и ^ eixfф dx отличаются только на компакте
Br (S) Br (S)
в X+', и, значит, разность этих интегралов экспоненциально мала.
3 В. И. Арнольд и др.
I 226 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
С другой стороны,
eixfQq> dx = I (ехр (sQ)*[eixiBydx~\.
Br(S) Br
Подынтегральное выражение правого интеграла запишем в виде eix's (Brp)5 dx1 д .. . Д dxn. Тогда при достаточно малых s > 0:
а) Imfs^O на Br,
б) fs не имеет критических точек на Вг\0,
в) fs = f> (9ф)* = бф на Br/i.
Из а)—в) следует, что § etxi6cp dx и ^ eixfs (Orp)s dx отличаются
Br Br
при т—S--J-OO на о(т N) для любого N. Теорема доказана.
Докажем лемму, выражающую асимптотики осциллирующего интеграла с гладкой амплитудой через асимптотики интегралов с амплитудой вида, указанного в теореме 3.
Лемма 5. Пусть фг, ..., —одночлены, порождающие базис над R в локальной алгебре R {x\/(df/dx), и пусть функция 0 — такая же, как в теореме 3. Тогда для любой гладкой амплитуды Ф с носителем, лежащим в достаточно малой окрестности начала координат, при т—>--f-oo имеет место равенство асимптотических рядов
с й с
j eixfq> dxfx 2 Ck (т-1) j eixhpkQ dx,
R П ft=l R Л
где ck — подходящие формальные ряды от 1/т. Доказательство. Представим ф в виде
9 = 2^9 + 2^/??.,
где ак—числа, hk—гладкие финитные функции. Тогда
J е^фdx = Y1 а" J ^ФаO dx +Д- J еСх? ? (—1)A+1 dhk!dxk dx.
Числа а1, ..., а*—свободные члены рядов C1 (т-1), ..., c? (т-1). Преобразуя правый интеграл аналогично тому, как был преобразован исходный интеграл, получим коэффициенты формальных рядов, стоящие при т-1 и т. д.
Замечание. В [198] доказано, что ряды {ск (т"1) = 2с?т_/1 после деления /-го коэффициента на /! сходятся для достаточно больших т, если амплитуда ф имеет вид, указанный в теореме 3.
