Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 111

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 160 >> Следующая


Следствие. Каждый коэффициент ряда Лорана в точке t = 0 функции det2, определенной в теореме 1, зависит только от конечных струй форм (O1, . . ., (Ott в точке OgC" и зависит от этих струй голоморфно.

Доказательство леммы. Обозначим через Jf идеал в С <<лг1, .. ., хпУ), порожденный функциями dffdxlt ..., df/dхп. Пусть N—натуральное число. Для доказательства первого утверждения леммы достаточно доказать, что при g(z(Jf)2N в ряде (7) все показатели а больше N—1. Здесь (Jf)"N—идеал, порожденный 2/^/-кратными произведениями элементов из Jj. Действительно, идеал Jj содержит некоторую степень максимального идеала (в силу конечнократности критической точки). Поэтому идеал (J/)2N тоже содержит некоторую степень максимального идеала. Для любой функции g из этой степени максимального идеала все а в ряде (7) больше N—1.

Докажем, что для g€.(J/)2N в ряде (7) все а больше N—1. Доказательство по индукции. При N = 0 утверждение справедливо (теорема 10.8). Пусть g = ^hjdfldxft где hf Є (У,-)2""1. Тогда, согласно формуле (3) на стр. 209,

где dhj/dxj g (J f)2N~2, По индуктивному предположению разложение в ряд интеграла в правой части начинается со степеней, больших чем N—2. Следовательно, ряд интеграла формы ay/df начинается со степеней, больших чем N—1.

Вторая часть леммы легко следует из очевидного утверждения: если задана мероморфная функция, голоморфно зависящая от параметров, то коэффициенты ее ряда Лорана голоморфно зависят от параметров (ср. с доказательством теоремы 10.2).

В. Начало доказательства теоремы 1. Первое и второе утверждения теоремы — следствия леммы 1 и теоремы 2. Согласно следствию леммы 3, для доказательства третьего утверждения теоремы 1 достаточно доказать существование хотя бы одного набора форм, для которого функция det2 имеет, в начале координат

(7)

J шIdf= § 2 (-l)y+1 dhj/dxj dx, А - ¦ ¦ AdxJdf,

б(О б(О § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения 237

нуль порядка не большего чем \i(n—2). Доказательство существования выводится из следствия 2 леммы 11.6, см. п. 12.1.Д. Сначала докажем вспомогательное утверждение.

Г. Критическая точка кратности р встречается в версальной деформации критической точки функции xf + . . . + х*' при yV^p + 2. Точнее справедлива следующая лемма.

Л емма 4. Пусть функция f\ (С™, 0)—>-(С, 0) голоморфна в начале координат и имеет в начале координат критическую точку кратности р. Тогда для любого N ^p + 2 существует многочлен

п

P (X1, ...,Xn, б, S1, ... , 8„) = Q (X1, . . ., хп, 6)+2 (1 4-е,-) xf,

І =1

обладающий свойствами:

1. При фиксированных 6^=0, S1, .. ., еп функция Р: С'1—>-С и функция f эквивалентны в окрестности точки 0.

2. Q (X1, ...,хп, 0) = 0.

3. Существуют сколь угодно малые по модулю б, B1, . . ., гп, при которых гиперповерхность {х ? С'г | P (х, б, є) = 0! неособа вне начала координат.

Следствие. Рассмотрим версальную деформацию F ростка функции х^ -j-...+х^ в начале координат. Обозначим через Л росток множества всех значений параметров деформации, при которых F имеет единственную критическую точку с нулевым критическим значением, причем эквивалентную критической точке 0 функции f. Тогда при N^p-f-2 Л не пусто.

Следствие справедливо, поскольку деформация, указанная в лемме 4, может быть индуцирована из версальной деформации.

Доказательство леммы. В качестве Q возьмем многочлен fu+1(8x1, . ¦ ., 8хп), где /дг+1 (X1, . . ., хп)—многочлен Тейлора степени N +1 функции f в начале координат. По теореме о конечной определенности (см. ОДО—I, § 6) функция в окрестности критической точки кратности р эквивалентна своему многочлену Тейлора степени р+1. Поэтому справедлив п. 1 леммы. П. 2 доказывается аналогично лемме 6.1.

Д. Существует хотя бы один набор форм, для которого функция det2, определенная в теореме 1, имеет в начале координат нуль порядка не большего, чем р(п—2). Такой набор предъявлен для критической точки вида X1 + . . . +хп в п. 11.3.В (см. следствие 2 леммы 11.6). Произвольная конечнократная критическая точка встречается в версальной деформации критической точки вида X1. .. -\-хп. Поэтому слои расслоения Милнора произвольной критической точки вложены в слон расслоения Милнора версальной деформации суммы степеней. Это вложение индуцирует моиоморфное вложение исчезающих гомологий. Формы набора, предъявленного для 238 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [ГЛ. iil

суммы степеней, можно интегрировать по классам гомологий, исчезающих в исследуемой конечнократной критической точке. Мы докажем, что искомым набором форм для исследуемой критической точки может служить часть набора, предъявленного для суммы степеней. Теперь более подробно.

Пусть /V^p+ 2. Рассмотрим версальную деформацию F: (¦CnXCft, 0x0)—»-(С, 0) ростка в начале координат функции xi• ¦ ¦ Рассмотрим специализацию G: X^-S развертки

версальной деформации и соответствующее расслоение Милнора G: X' —S'.

Обозначим через J множество мультииндексов / = (/J, ..., /„), где Is^Z1, ..., /„ ^ N. Число этих мультииндексов равно числу Милнора р.' критической ТОЧКИ функции X1 + . . .+Xn'.\l' = (N—1)". Рассмотрим на X голоморфные дифференциальные л-формы о)у., j (z J, где coy = х['~1. . . XirI1'1 Clx1 А ... Д dxn. Предположим, что в слоях расслоения Милнора G: X'—задан непрерывно зависящий от точки базы базис Sj (s), ..., 8?- (s) (п—-1)-мерных целочисленных гомологий, где s ? S'. Рассмотрим функцию на S':
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed