Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Можно показать (используя следствие 1 теоремы о детерминанте), что порядок уравнения Пикара—Фукса достаточно общей формы равен кратности критической точки.
Доказательство теоремы. Пусть 6j (t), ..., 6„(t)—непрерывно зависящий от t базис целочисленных (п—Г)-мерных гомологий в слое расслоения Милнора критической точки функции f. Рассмотрим многозначную вектор-функцию I(t) =
/«> + Рі/и-і,+ ...+Рг/==о
(8)
(9) § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения 241
=( J сo/df, ..., 5 nI • Для любого натурального k обозначим
\М» 0ц (О J
через Lk(t)czCu подпространство, порожденное векторами I(t), /ш(/)> . .., 7(fe) (t). Подпространство Lk(t) зависит от выбора аргумента числа /. Однако его размерность не зависит от выбора аргумента числа / (при изменении аргумента все векторы умножаются на оператор монодромии). Для всех t с достаточно малым модулем размерности подпространств Lk(t) равны. Действительно, размерность подпространства—это размер максимального отличного от нуля минора матрицы, составленной из координат векторов, порождающих подпространство. Согласно теореме 10.8 миноры матрицы, составленной из координат векторов /, ..., 1{к), разлагаются в ряды в окрестности точки / = 0. Поэтому, если минор не равен нулю тождественно, то он не обращается в нуль в достаточно малой проколотой окрестности точки t = 0. Пусть теперь /—наименьшее целое число, для которого вектор /(° (/) является линейной комбинацией векторов I (t), /а)(/), ..., /и-1> (t) (для всех малых / с достаточно малым модулем). Имеем
iU) (i)+Pi (t) Iі1-1' (0 + - • • + Pi (i) I <0 = о, 00)
где P1,. . ., Pi — голоморфные функции в проколотой окрестности нуля. Эти функции однозначны, поскольку при изменении аргумента числа t функция I и все ее производные умножаются на оператор монодромии. По построению каждая координата вектор-функции / является решением уравнения (10), линейные комбинации координат порождают /-мерное пространство решений. Теорема доказана.
Следствие. Порядок дифференциального уравнения (8) не больше кратности критической точки 0 функции f.
Определение. Пусть /ш + P1Zu-1' + • • • +P^ = 0—дифференциальное уравнение, коэффициенты которого определены в проколотой окрестности точки г = 0 и голоморфны. Точка / = 0 называется особой точкой уравнения, если хотя бы один из коэффициентов не продолжается голоморфно в точку / = 0. Точка t = 0 называется регулярной особой точкой, если точка / = 0 особая и коэффициенты уравнения представимы в виде р;- = Pjlt^, j = 1, ... ..., /, где функции P1, ..., P1 голоморфны в / = 0.
Пример. Пусть f, СО—те же, что и в предыдущем примере. Уравнение Пикара—Фукса формы со имеет при / = 0 неособую точку, если г = \, и регулярную особую точку, если Гф\.
Теорема 4 (см. [65]). Для того чтобы особая точка / = 0 была регулярной особой точкой дифференциального уравнения /^' + P1Zu-1'+ • • • -hpJ — 0, необходимо и достаточно, чтобы произвольное решение у равнения в произвольном секторе а < arg / < Ь при t—s-0 росло не быстрее, чем степенным образом'. Ї (t) = o(t~N) для некоторого N. 242 ИНТЕГРАЛЫ голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
Следствие. Для уравнения Пикара — Фукса голоморфной дифференциальной формы (см. (8)) точка t=0 либо неособая, либо регулярная особая.
Действительно, см. теорему 10.7.
Идея доказательства достаточности. Индукция по/.
При I = 1 теорема справедлива, поскольку / = const dt. Пусть достаточность доказана для 1 = т, докажем достаточность для 1 = т-\-1. Во-первых, исходное уравнение имеет решение вида ^o (0 — *аФ (0> где а 6 С, <р—функция, голоморфная при / = 0. Действительно, если I1, ..., 1т+1—фундаментальная система решений, то в качестве I0 можно взять собственный вектор 2 cjlj преобразования монодромии решений (а и собственное число Я связаны соотношением Х = е2я?а). Во-вторых, для любого j
PJy'1/Ja—голоморфная функция. В-третьих, замена I = I0^Jdt сводит уравнение к линейному однородному уравнению порядка т. Коэффициенты нового уравнения явно вычисляются через коэффициенты исходного уравнения и выражения вида ZojV^o- По предположению индукции, новое уравнение имеет регулярную особую точку. Возвращаясь к исходному уравнению и используя явные формулы для коэффициентов, получаем регулярность его особой точки.
Идея доказательства необходимости. Уравнение заменой y1 = I, y2 = //(1), . . ., yt = ft-iju-i) СВОдЙТСя к системе линейных однородных уравнений первого порядка: dy/dt = Ay, в которой матрица А имеет при / = 0 полюс первого порядка. Теперь необходимость следует из обсуждаемой ниже теоремы 6.
Уравнение Пикара — Фукса описывает интегралы одной формы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую интегралы форм, порождающих базис в исчезающих когомологиях. Такая система содержит информацию не только о формах, но и о критической точке функции.
Б. Интегралы ф'орм, порождающих базис в исчезающих к о гомо л ог^ия х. Пусть функция /: (С", 0)—»-(С, 0) голоморфна в точке 0 ? С" и имеет в ней критическую точку кратности р. Пусть (O1, .. ., (Otl—голоморфные дифференциальные n-формы, заданные в окрестности точки 0 ? Cn и составляющие тривиализацию для критической точки 0 функции f (см. стр. 230).
