Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно теореме 2 эта функция однозначна, голоморфна и является мероморфной функцией на 5 = S' U 2. Согласно следст-ствию 2 леммы 11.6 и следствию 1 теоремы 2 функция det2 может быть представлена в виде det2 = ghn~2, где g—голоморфная функция на S, отличная от нуля в точке s = 0, /г—голоморфная функция на S, нули которой задают дискриминант (без кратностей).
Пространство 5 (база специализации)—это произведение шаров B^ X Щ (координаты на В\, В* обозначаются, соответственно, через и, у). Обозначим через А множество тех у ? В%, для которых функция F (¦, у) имеет на X П -(C" х у) единственную критическую точку с нулевым критическим значением, причем эквивалентную критической точке функции / (F—это представитель на X ростка F). Согласно лемме 4 Л не пусто.
Пусть г/0 ^ Л. Обозначим через (х°, г/а) критическую точку функции F (•, г/0) с нулевым критическим значением. Для фиксированного р' > 0 обозначим через V(Ui Уо) подмножество всех точек слоя Xlutlhi специализации, удаленных от (х°, уй) на расстояние, меньшее чем р', см. рис. 78; ср. с рис. 73 на стр. 210. Если число р' достаточно мало и число т|' > 0 достаточно мало по сравнению с р', то совокупность U F(Uii,o), где U^=O1 \и\<ц, вместе с ес-
тественной проекцией V(Ulife) У о) образует расслоение Мил-
нора критической точки (х°, уа) функции G(-, у<,):Спху„—>-Cxyfr Слой V(UliT0) этого расслоения гомотопически эквивалентен букету р, (п—1)-мерных сфер. Вложение Fiuiyili с» Х{и,Уо) индуцирует мономорфизм (п—1)-мерных гомологий согласно теореме 2.1.
и § 12] интегралы и" дифференциальные уравнения
239
Над прямой ^ = г/0 в окрестности точки (0, у0) линейно над R изменим одновременно все базисы S1(S)1 б (s) так, чтобы:
1) первые р. элементов базисов нового семейства исчезали при ("> У о) У а) (т-е- являлись базисами (/г—1)-мерных гомологий слоев Y{u,yo) расслоения Милнора критической точки (л:0, уй) функции G (•, у0))-,
2) последние р/-(X элементов базисов нового семейства принадлежали корневому подпространству с,собственным числом 1 оператора монодромии, порожденного обходом вокруг (О, уа) по прямой г/ = у0.
Такой базис существует, поскольку подпространство нп-г (У(и,<,„>)<=#„_, (Х(„,Уо)) инвариантно относительно указанного оператора монодромии, и действие этого оператора монодромии на фактор-пространстве тривиально (действительно,
НП-1 (X(U,y0))/Hn-! (Y(u,y„)) ^ (Х(П, у,,)))-
Рассмотрим ограничение функции det2 на прямую у — уй. После изменения базиса функция det2 умножится на число, равное определителю замены базиса. Ограничение функции det2 имеет при м = 0 нуль порядка ji(n—2). Действительно, критическая точка (лг°, уа) функции F(-, у о) при малой деформации распадается на ja невырожденных критических точек и в каждой неособой точке дискриминанта функция det2 имеет нуль порядка п—2.
Наша задача состоит в доказательстве существования у матрицы
Ґ ^ (HfZdxF I, j?J, минора размера ja, расположенного в \6г{и,у о) J
первых ja строках и имеющего при и = 0 нуль порядка не большего, чем ja (п—2)/2 (в первых .ja строках расположены интегралы по первым ja элементам базиса гомологий).
Существование такого минора следует из двух замечаний:
1) det = S A7A7, где IczJ—подмножество из ja элементов, A7—
і
минор размера р, расположенный в первых ja строках и в столбцах с номерами из I, A1—алгебраическое дополнение минора АЛ
2) Для любого I минор At разлагается в ряд по степеням параметра и и степеням логарифма параметра и, причем в этом ряде все степени параметра неотрицательны.
Первое замечание — это теорема о разложении определителя по минорам из первых ja строк. Второе замечание следует из теоремы 240 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. по исчезающим. циклам [гл. iil
10.6 и формулы (3) на стр. 209 в силу выбора последних р'—р элементов базиса гомологий.
Теорема 1 доказана.
12.2. Интеграл — решение обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения с регулярной особой точкой.
А. Интегралы одной формы.
Теорема 3. Пусть функция /: (Сл, 0) —+(С, 0) голоморфна в начале координат и имеет в начале координат конечнократ-ную критическую точку. Пусть дифференциальная п-форма со задана в окрестности начала координат в tOn и голоморфна. Тогда в достаточно малой проколотой окрестности точки O^C существуют и единственны голоморфные функции P1, ..., P1, для которых обыкновенное дифференциальное уравнение
обладает свойством: все его решения составляют линейные комбинации многозначных голоморфных функций вида
где б — произвольное непрерывное семейство целочисленных (п—1)-мерных гомологий в слоях расслоения Милнора критической точки 0 функции f.
Определение. Уравнение (8) называется уравнением Пикара—Фукса формы со.
Пример. Пусть f—квазиоднородный многочлен типа (аг, ... . . ., а„), веса 1. Пусть со—квазиоднородная полиномиальная дифференциальная п-форма типа (cc1, . . ., а„), веса г. Это означает, что относительно растяжений gx- (xlt ¦ ¦., xn)>-^-(Xa^x1, .. ., Ха"хп), X ? С, многочлен и форма обладают свойствами: f ° gx~Xf , glfu = =Хгго. Предположим, что / имеет изолированную критическую точку в начале координат и что найдется хотя бы один класс гомологий, исчезающих в критической точке многочлена f, по которому интеграл формы© отличен от нуля. Тогда d//dt=(r — 1) I/t — уравнение Пикара — Фукса формы со. В частности, при / = х? + + . . . + х?, dl/dt =(п/2—1) 1Ц—уравнение Пикара — Фукса формы Cix1A ¦ • • Adxn. Действительно, gl (a>/df) = Az-1GVdf. Растяжения g% индуцируют изоморфизм гомологий слоев расслоения Милнора. Поэтому все интегралы формы (a/df имеют вид const ¦ іг~г.
