Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
o(T(0)) \ Хо) с D, Df]bX , 2є) = t
В силу этого выбора множество
M := C(D) р| С(Ь(Хо ,є))
215
T(0)
189) следует, что существует такое С(с) > 0, что множество M есть ре-
T(/) | /| < C (с)
V(H <С(с)): <r(T (/)) С D|Jb(X0 ,с).
(3.193)
В дальнейшем мы считаем, что числа с > 0 , С(с) удовлетворяют условию
X , /
W = {X, / | |Х — X01 < с , |/| < С(с)).
(3.194)
3. Пусть AM С C(B — B) -коммутативная алгебра аналитических
T( /)
стр. 193):
AM = Op0(F0), a = T(/).
(3.195)
Пусть Положим
P1(/) P2(/)
2ni
2ni
2с < dist(X0 , OD).
R(C TMR,/1 = {? | |? — X0| = 2с),
R(C TMR, /2 = OD.
(3.196) (3.197)
12
| /| < C (с) Pj(/) , j = 1 , 2,
/
B
,2. Ллгефа AM есть прямая сумма своих подалгебр:
AM = AM Ф A2 M , Aj M = Au)Pj (u),
м операторы Pj (/) есть локальные единицы в подалгебрах Aj М, причем справедливо равенство
P1M + P2M = id.
(3.198)
Доказательство. Это утверждение есть следствие формул (3.196)-(3.198)
T( /) /
216
3.5.14.
Лемма 3.7.6. Оператор
a2(A,?) := (Aid - T(?))P2(?) в алгебре A2(?) имеет локальный обратный:
12
который аполитичен по A , ? , V(A, ? Є W) как функция со значениями в A(B ь В):
W э (A ; ?) ь a—}oc(A , ?) Є A(B ь В).
Доказательство. Аналитичность оператора a—joc(A , ?) есть следствие формулы (3.199). Справедливо равенство
(Aid- T (?))a—Ic =
(A - C)(A - C)—1R(C, T(?))dc = -~§R(C> T(?))dC =
12 12
P1(?).
Лемма доказана.
Пусть выполнено условие
dim(Im(Pi(0))) = n< то. (3.200)
Тогда в силу теоремы 3.7.3
UiIIi(Im(P1^))) = n,
и поэтому
(P1(?)B) = n.
Пусть {ej(?)} , {l(^(?)} -базисы, которые описаны в теореме 3.7.3. Следующая лемма очевидна.
Лемма 3.7.7. 1. Положим
aj(A, ?) =< (?) | (Aid - T(?))ej(?) > (3.201)
xp(A , ?) = det{aj(A , ?)}. (3.202)
217
Определенная равенством (3.202) функция, ф(Х , ?) аполитична:
ф(Х ,?) = Xn + ?i (?)X(n~1 ) + ... + ?n(?),
где ?j ^аналитические функц ии при \?\ < 5(e). 2. Функция,
Х — ір(Х , 0)
в точке Х = Хо имеет ноль порядка, n и в области W уравнение
ip(X,?) = 0 (3.203)
имеет (с учетом кратности) точно n корне и {Xj (?), 1 < j < n}.
Х
стическим уравнением и исследованию поведения его корней как функ-
?
B теории функций комплексного переменного известна теорема Вейр-
?=0
нения (3.203) имеют разложение
Xj(?) = Y aj,m?m/p , 1 < j < n, (3.204)
i<m<oo
где p -целое число.
Заметим, что кратность нуля детерминанта ф(Х, 0) в точке X = Хо совпадает с размерностью пространства Im(P(Хо)), и часто алгебраическая кратность собственного значения по опеределению полагается равной кратности нуля детерминанта ф(Х, 0).
Пусть
ai(X , ?) := (Xid - T(?))Pi(?). a (Х , ?)
Л(^) в том и только 'том случае, если гф(Х, ?) = 0, причем,
V(i>(X,?) = 0) : a-lc(X,?) = r(X, ?), (3.205)
где оператор r(X, ?) Є Л^) аполитичен в области W как функция со L(B — B)
a (Х , ?)
оператор в линейном пространстве P1 (?)B размерности n и оператор C1(X, ?) приводит проетранство Vi(?)B.
Окончательно наши результаты мы сформулируем в виде теоремы.
218
Теорема 3.7.4. Если оператор
T(j) є L(B ь B)
\ j\ < 5 j
пространстве l(B ь-> B), точкa X0 есть изолированная точка спектра T(0)
тора (3.196) конечна то тогда
1. Существуют такие положительные числа є > 0 ,5(e) > 0, что в области
W = {X , j \ \X - X0\ < є , \j\ < 5(є)]
описанная, в лемме 3.7.7 функция, V(X , j) аполитична. При V(X , j) = 0 W
где операторы a(X , j) , r(X , j) в области W аполитичны по X , j как
L(B ь B)
Am(Im(r(X, j))) < Am(Im(P1 (0))), Im(r(X , jj)) pi Im(a(X , j)) = 0.
\ j\ < 5
Xj(j) T(j)
Из формулы (3.206) следует, что порядок полюса резольвенты не может быть больше алгебраической кратности собственного значения, но
r(X , 0) X = X0
иметь ноль.
T( j)
но получить более полную информацию о поведении собственных чисел и собственных функций.
Теорема 3.7.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.7.4, простран,-B T( j)
j
Xj(j) j
j=0
Pi ( j)
висит от параметра, j в окрестности точки, j = 0 а представим, в виде
R(X, T(j))
1
r(X , j) + a(X , j)
(3.206)
V(^ j)
(3.207)
i<j<ra
219
где проекторы P1 j (?) удовлетворяют условию
Pi ,i(?)Pi ,j (?) = 0 ,если Xi(?) = Xj (?)
и уравнениям:
T (?)Pi ,j (?) = Xj (?)Pi j (?). (3.208)
Доказательство. Так как собственные значения Xj (?) должны быть действительны при значениях параметра ?> 0, все коэффициенты Cj m в (3.204) должны быть действительны. Так как собственные значения Xj (?) должны быть действительны и при значениях параметра ? < 0, должны выполняться равенства
Wm : Imexp(inm/p) = 0.
?
Каждое собственное значение Xj (?) есть изолированная особая точка резольвенты R(X, T(?)). В силу оценки
\\R(Xj(?) + it, T(?))\\ < 1/є
эта особая точка есть полюс первого порядка и поэтому вычет в полю-Xj(?)
сумма вычетов, то справедлива формула (3.207). Теорема доказана.
Если собственное значение Xo не вырождено, т.е. n = 1, то тогда отсюда следует, что отвечающую собственному значению X(?) , X(0) = Xo, собственную функцию можно выбрать так, что она будет аналитичной по ? в окрестности точки ? = 0. В общем случае дело обстоит сложнее (см. [16]).
