Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 55

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 110 >> Следующая

Следующая теорема называется теоремой Шаудера.
224
Теорема 3.8.1. Оператор
T Є L(B1 — B2)
компактен в том, и только том, случае, если сопряженный оператор
T* Є L(B* — B*)
компактен.
T
T* T
{fn | 1 < n < о} С b(0, 1) С B*.
Нам нужно доказать, что последовательность T*(/n) содержит сходящу-
B1*
Имеем:
V(X Є B1) : < (T*(/n) — T*(/m) | X > = < (/n — /m) | T(x) > . (3.214)
Заданная на компактном множестве Cl(Tb(0 , 1)) последовательность функций
Cl(Tb(0 , 1)) э y — /n(y)
равномерно ограничена:
Vn : |/n(y)| < ||/n | B*И • ||T | L(B1 — B^|| • ||x | BlИ и равностепенно непрерывна, так как:
|/n(y) — /n(y')| = |/n(y — y')| < И/n | B*И • ||y — y | B2И.
По теореме Арцела-Асколи (см. теорему 2.3.4 на стр. 133) последователь-/n
d(/ , g) = sup{|/(y) — g(y)| | y Є Cl(Tb(0 , 1))}
подпоследовательность. Будем считать, что сходится сама последова-/n
||T*(/n) — T*(/m) | B*И =
SUp{| < T*(/n) — T*(/m) | X > | | ||X | BlИ < 1} < d(/n , /m),
225
что и доказывает сходимость последовательности T*(fn).
Теперь предположим, что оператор T* компактен и докажем, что опе-T
Кслп оператор T* компактен, то в силу только что доказанного свойства оператор
T** : Б** — Б**
компактен. Пусть {xn} С b(0 , 1) С B1h J-определенное формулой (3.68) (см. стр. 178) изометрическое вложение:
J : B1 — B1**.
Тогда
W(n,m> N(є)) WT(xn) - T(xm) | Б2\\ =
\\T**(J(Xn)) - T**(J(Xm)) I Б**\\ <t,
{ x n}
T**(J(xn))
ратора T** и включения {J(xn)} С b(0, 1) С Б**. Теорема доказана.
Следующая теорема называется теоремой (или леммой ) Рисса о почти перпендикуляре. Эта теорема не использует понятие компактости, но на ней основано доказательство часто используемой теоремы Рисса о компактности единичного шара в банаховом пространстве и многих других теорем о компактных операторах.
Бо
хова простапства Би Б\Бо = $. Тогда для любого є > 0 в пространстве Б существует такой вектор x, что выполнены условия:
\ x\ = 1 , ( x , Бо) > 1 - є.
Доказательство. Пусть y є Б \ Бо. Тогда dist (y, Бо) = а > 0 и существует такой вектор z є Бо, что
Пусть
\ x\ = 1
\\z - У\\ < (1 + є)а. x =(z - y)/\\z - y\\.
W(Z Є Бо) : \\x - z'\\ = \\z - y\\-i\\z - \\z - y\\z' - y\\ >
а
--— > 1 - є.
(1 + є)а
226
Теорема доказана.
Следующая ниже теорема и есть упоминавшаяся теорема Рисса о компактности единичного шара.
B
B
конечномерно.
Доказательство. Пусть {e1, ...} С B -линейно-независимые векторы, норма которых равна единице,
Bn = Cl(span{ei ... ,en}).
Тогда Bn С B(n+1), и если B(n+1) \ Bn = 0, то согласно предыдущей теореме существует такой вектор yn є B(n+1), что
||yn|| = 1, dist(yn , Bn) > 1/2. { yn}
лежащая замыканию единичного шара последовательность, из которой нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность, поэтому если еди-
n
выполнено равенство Bn = B(n+1). Теорема доказана. 3.8.2 Теория Рисса-Шаудера.
Теория Рисса-Шаудера описывает резольвенту компактного оператора и устанавливает связь между областью значений и ядром оператора (Aid - T) в том случае, если оператор T компактен. Эти результаты будут подытожены нами в теореме 3.8.5.
Мы будем считать, что рассматриваемое нами банахово пространство рефлексивно:
B** = B.
Начнем мы с доказательства нескольких лемм. В дальнейшем мно-
B
странство B мы обозначим сим волом K(B ь-> B). Ясно, что
K(B ь B) С L(B ь B).
Лемма 3.8.4. Если T -компактный оператор и A = 0, то пространство Im(Aid - T) замкнуто.
227
Доказательство. Пусть
yn Є Im(Aid - T) , yn ь yo , n ь то. Нам нужно доказать, что
yo Є Im(Aid - T).
Пусть
yn = (Aid - T)(xn).
Положим
an = dist(xn , Ker(Aid - T)),
и пусть элементы wn выбраны так, что
Wn Є Ker(Aid - T) , an < Wxn - wnW < (1 + 1/n)an.
Положим
Рассмотрим два случая: an < const и an ь оо. В первом случае мы имеем:
Zn = (1/A)(yn + Tzn) , WznW < const. (3.216)
Так как оператор T компактен, из последовательности Tzn можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Для простоты можно счи-
Tzn
дущем равенстве, мы получаем:
zo = (yo + Tzo)/A,
Следовательно,
yo Є Im(Aid - T).
Теперь мы покажем, что второй случай невозможен. Пусть an —> то и
Cn = zn/W znW .
W CnW = 1 TCn
Cn
сходится:
Cn ь Co,
228
ACo = TCo.
причем
С другой стороны,
ICn — &|| = ||Xn — WnИ 1ИXn — Wn — (ИXn — Wn||)C|| >
IXn — WnH-1CUSt(Xn , Ker(Xid — T)) >
an
» 1, n — оо.
(1 + 1/n)an
Это противоречит определению элемента C0 как предела последовательности ^n- Лемма доказана.
Лемма 3.8.5. Если T -компактный оператор, X = 0 и
Im(Xid — T) = B,
то
Ker(Xid — T) = 0.
Доказательство. Предположим, что выполнено равенство (3.218), а равенство (3.219) не выполнено. Докажем, что это противоречит ком-
T
Положим
N = Ker(Xid — T)fc , k = 1, ....
Каждое из пространств N замкнуто и
Vk : Nk С N(fc+1). (3.220)
В силу сделанных нами предположений
N1 = 0,
X1 , X2
X1 = 0 , (Xid — T)X1 = 0 , (Xid — T)X2 = X1.
Но тогда
(Xid — T)x2 = 0 , (Xid — T)2X2 = 0,
Следовательно,
X2 Є N1 , X2 Є N2 , N2 \ N1 = 0.
Мы можем продолжить наше построение и получим, что в (3.220) все включения -строгие:
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed