Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Aid - A)
(Aid - A)R(? , A) = id - (? - A)R(?, A),
239
откуда следует, что
(?id — A)R(?, A) = id.
Аналогично, применяя равенство (3.243) к элементу (Xid — A)x, мы получаем:
R(? , A)(Xid — A)x = X + (X — ?)R(? , A)x, а отсюда следует, что
V(x Є Dom(A)) : R(? , A)(?id — A)x = x.
Лемма доказана.
Лемма 3.9.3. Если
Dom(A1) = Dom(A2) , X є re«(A^ Q res(A2) , (A1 — A2) Є L(B — B),
то справедливы, равенства
R(X, A1) — R(X, A2) = R(X, A1)(A1 — A2)R(X, A2), (3.246)
R(X, A1) — R(X, A2) = R(X, A2)(A1 — A2)R(X, A1). (3.247)
Равенства (3.247)-(3.246) есть две формы записи второго резольвентного тождества (уравнения). Первым резольвентным тождеством (уравнением) называют тождество Гильберта.
Доказательство. Имеем:
V(x Є DOm(A1)) : (Xid — A2)x — (Xid — A1)X = (A1 — A2)x. (3.248) В (3.248) сделаем замену
X — R(X , A1)X R( X , A2)
мену
X — R(X , A2)x R( X , A2)
Лемма 3.9.4. Если
3(X Є C1): R(X, A1) = R(X, A2), (3.249)
240
A1 = A2.
то
Доказательство. Из (3.249) следует, что
W(x є Dom(Ai)) : x = R(A, A2)(Aid - Ai)x.
Следовательно,
Dom(Ai) C Dom(A2)
и
(Aid - A2)x = (Aid - A2)R(A, A2)(Aid - Ai)x = (Aid - Ai)x. Определение 3.9.5. Графиком линейного оператора
A : B1 D Dom(A) — B2
называется множество
рассматриваемое как подпространство прямой суммы B1 ф B2 банаховых пространств B1 и B2.
Множество L C B1 ф B2 есть график линейного оператора в том и только том случае, если, во-первых, L есть линейное многообразие и, во-втрых, из условий
следует, что
y = y.
Последнее условие для линейного многообразия эквивалентно требованию:
A
фик замкнут как подпространство прямой суммы B1 ф B2 банаховых пространств B1 D Dom(A) и B2 D Im(A).
Cl(A)
A Cl(A)
Gr(A) = {x ф Ax \ x є Dom(A)}
x ф y є L , x ф y є L , x = x
(3.250)
A
Gr(Cl(A)) = Cl(Gr(A)).
241
Замыкание графика оператора A не обязательно удовлетворяет условию (3.250), поэтому замыкание графика оператора не обязательно есть график какого-нибудь оператора, но очевидна
Лемма 3.9.5. Если выполнено условие
Cl(Gr(A))p|(0 Є B2) = 0 е 0, (3.251)
то оператор A имеет замыкание Cl(A):
Dom(Cl(A)) = Pn(Cl(Cr(A)),
V(x є y є Cl(Cr(A))) : Cl(A)(X = y. (3.252)
Для доказательства заметим, что в силу условия (3.251) соотношение (3.252) однозначно определяет оператор, график которого есть замкну-Cl(Gr(A))
Cl(A) A
делает коммутативной следующую диаграмму:
Cl(Gr(A)) = Cl(Gr(A))
Pri
Pr2
B1 -a B2
где Pr7- -оператор проектирования прямой суммы B1 е B2 на слагаемое Так как
B3.
Gr(A) с Cl(Gr(A)),
то
Dom(A) с Dom(Cl(A)) , V(x Є Dom(A)) : Ax = Cl(A)(x).
Dom(A)
не быть замкнутым подпространством в банаховом пространстве B1 D Dom(A)
замыканием области определения исходного оператора.
В дальнейшем оператор и его замыкание, как правило, мы будем обозначать одним и тем же символом.
Рассмотрим примеры.
Пусть
B = L2(R1, dx);
Dom(A) = {/ | / (x) Є L2(R1, dx) , x2/(x) Є L2(R1, dx)}; A : Dom(A) — L2(R1, dx) , A/(x) = x2/(x).
242
Область определения оператора A плотна в L2(R1, dx), так как она со-
A
Действительно, положим
/e(x) = (е/п)1/4 exp(-ex2/2).
Тогда
V(e > 0) : / є Dom(A) , ||/е|| = 1 , ||A/e|| > const/е ь то , е ь 0. Легко видеть, что
R(A , A)f (x) = (A-x2) / (x) , <r(A) = [0 , то).
A
рим последовательность
fn(x) Є Afn(x) є Gr(A),
которая в топологии прямой суммы L2 (R1, dx) ф L2 (R1, dx) сходится к точке /,,•;./•• ф V(x) и докажем, что эта точка принадлежит графику A
Из определения нормы в прямой сумме пространств следует, что в L2(R1 , dx)
fn(x) -> fo(x) , x2fn(x) ь x2fo(x) = V(x) , n ь то. L2(R1 , dx) /o(x) є L2(R1, dx) , x2fo(x) є L2(R1, dx),
Следовательно,
/o(x) є Dom(A) , V(x) = A/o(x) и /o(x) ф V(x) є Gr(A).
Заметим, что в рассмотренном примере область определения оператора A L2(R1 , dx)
Рассмотрим другой пример. Положим
B = L2(R1, dx),
Dom(A) =
{/ I /(x) є L2(R1, dx) , /'(x) є L2(R1, dx) , /"(x) є L2(R1, dx)}, A : Dom(A) ь L2(R1, dx) , A/(x) = -/(x).
243
A
f Є Dom(A) , И/II = 1.
Тогда
vW (nx) Є Dom(A) , HvW(n-)|| = 1,
но
||AvW (n-)|| > const.n — о , n — о.
Используя преобразование Фурье, можно доказать, что оператор дифференцирования сводится (позже мы уточним, в каком именно смысле) к оператору умножения на независимую переменную, поэтому рассмотренные нами примеры, по-существу, есть разные редакции примера одного и того же оператора.
Пусть
z = X + iy Є C1 ,B = {/(z) | У |f (z)|2exp(—|z|2)dxdy < оо}. Положим
Dom(A) = {f | f (z) Є B , |z|f (z) Є B},
A : Dom(A) — B , Af(z) = zf(z).
Легко видеть, что в рассматриваемом случае резольвентное множество оператора A пусто: res(A) = 0, и спектр оператора совпадает со всей комплексной плоскостью: <r(A) = C1.
3.10 Полугруппы операторов в банаховом пространстве.
Теория полугупп операторов в банаховом пространстве возникла при изучении уравнений вида
= Lu , t > 0 ; u(+0) = uo. (3.253)
Одна из основных задач теории состоит в ответе на вопрос, при каких условиях на оператор L и начальные данные U0 уравнение (3.253) имеет решение и это решение единственно. Оказывается, что ответ на эти вопросы можно дать в терминах некоторых свойств неограниченных операторов, с элементами теории которых мы только что познакомились.
