Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 47

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 110 >> Следующая

a-ia = aa-i = id.
Определение 3.5.7. Элемент а Є A называется обратимым, если у него существует обратный элемент a-i Є A.
Очевидна
Лемма 3.5.2. Если элементы а и b обратимы, то элемент c = ab обратим, и,
187
В дальнешем мы по определению полагаем
V(a = 0) : ao = id.
Прямым вычислением доказывается
Лемма 3.5.3. Если HaH < 1, то элемент (id — a) обратим, и
(id - a)-1 = Y an.
o<ra<oo
Отсюда вытекает
Лемма 3.5.4. Если элемент a обратим, и HbH < Ha-1H-1, то элемент a+b
(3.100)
Для доказательства достаточно заметить, что
(a + b) = a(id + a-1b), и оба сомножителя в правой части этого равенства обратимы, так как
||a-1b|| < Ha-1 HHbH < 1. Из этого утверждения вытекает очень важное
Следствие 3.5.1. Множество всех обратимых элементов банаховой, A
a — a-1 (3.101)
непрерывно в достаточно малой окрестности обратимого элемента.
Определение 3.5.8. Если элемент (А • id - a)-1 є A существует, то он
a є A
R(A , a) = (А • id - a)-1. (3.102)
a (a -
А • id)-1.
id
по умолчанию, что:
А • id = А,
и при такой договоренности определение (3.102) записывается так:
R(A, a) = (А - a)-1.
188
Определение 3.5.9. Резольвентным множеством элемента a є A называется множество А є C1 тех точек комплексной плоскости , для которых существует резольвента:
res(a) = {А | B(A • id - a)-1}.
(3.103)
Из следствия 3.5.1 вытекает, что резольвентное множество любого элемента банаховой алгебры открыто, а из леммы 3.5.3 следует, что
В дальнешем нам понадобится следующее очевидное следстие непрерывности резольвенты как функции своих аргументов.
R( А , ao)
в каждой точке А є D некоторого компактного множества D С C1. Тогда существует такая открытая окрестность O(D) множества D и такой открытый шар b(ao ,б) є A, что резольве нта R(A , a) существует при всех А X a є O(D) х b(ao , б).
R( А , a)
А , a
для каждой точки Ао є D существует такое б(Ао), что резольве нта R(A , a) существует при |А - Ао| < б(Ао) и a є b(ao , б(Ао)). Открытые окружности {А | |А - Ао| < б(Ао)} ,Ао є D составляют покрытие компактного D
Выбирая число б равным наименыниму радиусу б(Ао) входящих в это покрытие окружностей, мы получим утверждение теоремы. (Искомая
D
входящих в выбранное конечное покрытие окружностей).
Лемма 3.5.5. Если U -обратимый элемент алгебры a, то справедлива формула
V(|A| > HaH) : R(A, a) = А ? (А)
o<ri<oo
(3.104)
d((A1, a1), (А2 , a2)) = тах(|А1 - А21 , ||a1 - a2H)
UR(A, a)U
-1
R(A, UaU
(3.105)
Доказательство. Следует из равенства
(Aid - UaU-1)UR(A, a)U
-1
id.
189
Определение 3.5.10. Спекторм er(a) элемента a Є Л называется дополнение резольвентного множества элемента a :
a(a)=f C(res(a)). (3.106)
Иногда спектр элемента a Є Л обозначается символом
Sp(a) = er (a).
Так как резольвентное множество открыто, то спектр -замкнутое множество, и если U -обратимый элемент, то
a(UaU-1) = a(a). (3.107)
Теорема 3.5.3. Справедливы, равенства:
R(A , b) — R(A , a) = R(A , b)(b — a)R(A , a), (3.108)
R(A , b) — R(A , a) = R(A , a)(b — a)R(A , b), (3.109)
R(A , a) — R(/t, a) = —(A — /t)R(A , a)R(/t , a). (3.110)
Доказательство. Равенство
(Aid — a) — (Aid — b) = (b — a)
умножаем слева на R(A , b), а справа на R(A , a). Получим (3.108). Умно-
R( A , b) R( A , a)
(3.109).
Аналогично, исходя из равенства
(//id — a) — (Aid — a) = —(A — /t)id,
мы легко получим (3.110).
Замечания. Ясно, что (3.108) и (3.109) есть разные формы записи одного и того же равентсва. Это равенство называется вторым резольвентным уравнением (или вторым резольвентным тождеством). Равенство (3.110) называется первым резольвентным уравнением (или первым резольвентным тожеством, или тождеством Гильберта). Можно доказать, что если операторные функции удовлетворяют уравнениям (3.108)-(3.110), то они являются резольвентой некоторого элемента. (b— a)
преобразовать второе резольвентное уравнение. Положим по определению
V(A Є res(a)p| res(b)) : T(A , a , b) = (b — a) + (b — a)R(A, b)(b — a),
(3.111)
Q(A, a , b) = id + T(A , a , b)R(A , a). (3.112)
190
Лемма 3.5.6. Справедивы равенства
R(A , b) = R(A , a) + R(A , a)T(A , a , b)R(A , a) = R(A , a)Q(A , a , b),
(3.113)
T(A , a , b) = (b — a) + (b — a)R(A , a)T(A , a , b), (3.114)
R(A , b)(b — a) = R(A , a)T(A , a , b), (3.115)
(b — a)R(A, b) = T(A , a , b)R(A , a), (3.116)
T(A , a , b) — T, a , b) = —(A — ^)T(A , a , b)R(A , a)R(/x , a)T, a , b).
(3.117)
Доказательство. Из второго резольвентного уравнения следует, что
R(A , b)(b — a) = R(A , a)(b — a) + R(A , a)(b — a)R(A, b)(b — a) = R(A , a)(b — a) + R(A, a)(T(A , a , b) — (b — a)) = R(A , a)T(A , a , b).
Подставив левую часть этого равенства в (3.111), мы получим (3.114). Подставив во второе резольвентное уравнение, получим (3.113). Равенство (3.116) доказывается абсолютно аналогично. Далее имеем:
T(A , a , b) — T, a , b) = (b — a)(R(A , b) — R(u , b)(b — a) = — (A — )u)(b — a)(R(A , b)RGu , b)(b — a) =
(с учетом доказанных выше равенств)
— (A — ^)T(A , a , b)R(A , a)R(/x , a)T, a , b). Лемма доказана.
В теории потенциального рассеяния бывает удобна следующая форма второго резольвентного уравнения.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed