Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Vk : N(fc+1) \ Nk = 0. 229
В силу теоремы Рисса о почти-перпендикуляре 3.8.2 (см. стр. 226) существует такая последовательность {yk}, что
||yfc|| = 1, yfc є Nk , dist(yk , N(fc_i)) > 1/2.
Дале мы замечаем, что
Tyn - Tym = A[yn - (ym - ((Aid - T)ym - (Aid - T)yn)/A)], V(n > m) : ym - ((Aid - T)ym - (Aid - T)yn)/A є N(n_i),
поэтому
V(n > m) : ||Tyn - Tym|| > |A|dist(yn , Nn_i) = |A|/2.
Tyn
T
Лемма доказана.
T
Ker(Aid - T) = 0, (3.221)
mo
Im(Aid - T) = B.
Доказательство. В силу теоремы 3.4.8 (см. стр. 181) из условия (3.221) следует равенство
Cl(Im(Aid - T)*) = B*.
Так как в силу теоремы Шаудера оператор T* компактен, то из леммы 3.8.4 следует, что
Cl(Im(Aid - T)*) = Im(Aid - T)*) = B*.
Воспользовавшись леммой 3.8.5, мы получаем:
Ker(Aid - T)* = 0.
На основе теоремы 3.4.8 отсюда следует, что
Im(Aid - T) = Cl(Im(Aid - T)) = B.
Лемма доказана.
Из лемм 3.8.6 и 3.8.5 следует
230
Лемма 3.8.7. Если оператор T компактен и А = 0, то
Ker(Aid
T) = 0
в том, и только том, случае, если
Im(Aid
T) = Б.
Из этого утверждения и теоремы Банаха 3.3.6 (ем. стр. 168) следует Теорема 3.8.4. Если оператор T компактен и А = 0, то либо
Утверждение теоремы 3.8.4 называется альтернативой Фредгольма. Необходимость условия (3.223) тривиальна: если это условие не выполнено, то однозначно определенного оператора (3.224) не существует. Нетривиальная часть теоремы 3.8.4 состоит в том, что условие (3.223) достаточно для существования оператора (3.224).
Из теоремы 3.8.4 следует, что отличные от нуля точки спектра комп-катного оператора есть его собственные значения и только собственные значения есть отличные от нуля особые точки резольвенты компактного оператора.
Изучим эти собственные значения.
Напомним один результат из линейной алгебры.
Лемма 3.8.8. Если T -линейный оператор в линейном пространстве L и {xj , 1 < j < n} -последовательность векторов, которые удовлетворяют уравнениям,
Ker(Aid - T) = 0,
(3.223)
либо
(Aid - T)-1 є с(Б — Б).
(3.224)
wj : xj = 0 , Ajxj = T(xj) ; (j = k) = (Aj = Ak)
(3.225)
{ xj}
Доказательство. Пусть
(3.226)
i<j<n
231
T
1 < j <n
Oj Xj xj = (0, 1 < j< n
Y Xn-1Xj = 0.
1 < j< n
{Xj}
a. ibifoo решение только в том случае, если
O1... On Д (Xj — Xfc) = 0,
1<j<fc<n
откуда и следует доказываемое утверждение.
Заметим, что размерность пространства L в данном случае роли не играет.
Лемма 3.8.9. Если оператор T компактен и {xj , 1 < j < оо} -последовательность линейно независимых векторов, которые удовлетворяют уравнениям,
XjXj = T(Xj), {Xj}
Xj — 0 , j — о.
{Xj}
нечна и
Vj : Xj = 0.
(Если нужно, мы можем перейти к подпоследовательности.) Пусть
Ln = ^an{x1,... Xn}.
Тогда
Ln С Ln+1 , Ln+1 \ Ln = 0.
{ yn}
что
ИупИ = 1 , dist(yn , Ln_1) > 1/2 , yn = Y enXj.
1 < j< n
232
Заметим, что обязательно выполнено неравеетво
?n = 0,
так как Положим
Пусть n > m. Рассмотрим разность T(wn) - T(wm) =
?nxn + zn = yn + vn ; vn Є L(n-1) , zn Є L(n-1).
Из этого равенства следует, что
WT (wn) - T (wm)W >dlst(yn , L{n -1)) > 1/2. (3.227)
Если
: \Aj | > const. > 0,
то
Wn : WwnW < const. < то, T
Twn
следовательность. Лемма доказана. Из лемм 3.8.9 и 3.8.8 вытекает
T
Ker(Aoid - T) = 0,
то A0 -изолированная особая точка резольвенты R(A , T) и
(Ker(Aoid - T)) < о.
Пусть выполнено условие (3.228). Пусть P(A0) -спектральный проектор:
P(Ao) = 2- і R(A, T)dA, l = {A \ \A - Ao\ = 6].
233
Если x є Ker(A0id - T), то (Aid - T)x = (A - A0)x, и
R(A , T)x = (A - A0)-ix , P(A0)x = x,
поэтому
Ker(Aoid - T) C Im(P(Ao)). (Вспомним включение (3.169) на стр. 206). Лемма 3.8.11. Справедливы, равенства:
P*(Ao) = — І) R(A, T*)dA, l = {A \ \A - Ao\ = S}, (3.229) 2m J і
dim(Im(P(Ao))) = dim(Im(P*(Ao))) < oo, (3.230)
<fc'm(Ker(Ao - T)) = dim(Ker(Ao - T*)) (3.231)
Доказательство. Равенство (3.229) следует из теоремы 3.4.9 (см. стр. 183).
Справедливо равенство
R(A, T) = A(id + TR(A, T)),
откуда следует, что
P (Ao)= (f A R(A,T )dAlr^
P(A0)
Im(P(A0))
замкнуто и инвариантно относительно изометричного в пространстве Im(P(A0)) P(A0)
Im(P(A0))
Im(P(A0))
Пусть
Im(P (Ao)) = span{ei, en}. Im(P(A0))
f(j) : < f(j) \ ek >= Sk , 1 < j < n (3.232)
234
и распространим их (используя теорему Хана-Банаха) на все простран-B
Справедливо равенство
V(x є Im(P(Ao))) : x = J] f< f I ej > .
1<j<n
Следовательно,
V(f є Im(P*(Ao))) : < P*(Ao)f I x >=< f I P(Ao)(x) >= J] f(j)(x)ej,
1<j<n
и
(Vf є Im(P*(Ao))) : f = J] < f I > f
1<j<n
Следовательно, векторы {f(j) , 1 < j < n} составляют базис в пространстве Im(P*(Ao)) и выполнено равенство (3.230).
(Ker(Aoid - T))
akj) =< f(j) I (Ao[id] - T)(ek) >, а число dim(Ker(Aoid - T*)) есть дефект матрицы, транспонированной к матрице {akj)}¦ Как известно, эти дефекты совпадают. Лемма доказана.
Подытожим полученные нами результаты.
T
дующие утверждения.
T*
Ao = 0
Ker(Aoid - T) = 0,
то
Ker(Aoid - T*) = 0,
и
(Ao - T)-1 є L(B ь B), (Aoid - T*)-1 є L(B* ь B*) Ao = 0
Ker(Aoid - T) = 0,
то Ao -полюс резольвenm R(A , T) и R(A , T*), причем Am(Im(P(Ao))) = Am(Im(P*(Ao))) < то,
