Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 54

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 110 >> Следующая

Покажем, как на практике находить поправки к собственным значениям и собственным функциям. Пусть выполнены условия теоремы 3.7.4 и
T (?) = T (0)+ ?V,
где T(0) и V -самосопряженные операторы в конечномерном гильбертовом пространстве. Пусть , 1 < j < n -ортонормированный базис в Im(P (0))
ствующие собственные функции в виде
Xj(?) = Xo + bj? + O(?2), 1 < j < n, i>j(?) = Y aj>i%t)°° + ?^j + O(?2).
< i< n
220
Подставляя эти разложения в уравнение
T MVj M = Xj MVjM /
(T(0) — X0)c6j = (bj — V)a(j,i)V0 , 1 < j < n. (3.209)
1<i<n
Чтобы эти уравнения имели решения, нужно, чтобы правая часть (3.209) была ортогональна всем функциям V0- Это дает систему уравнений
a(j,i)(Cfcbj — < V0 , VV0 >) = 0 , 1 < j < n , 1 < k < n. (3.210)
1<i<n
Условие существования нетривиального решения у этой системы уравнений дает уравнение для
bj : det(?tfcbj — < V0 , VV0 >) = 0 , 1 < i, k < n. (3.211)
Пусть bj корень уравнения (3.211) и вектор aj = (aj; 1) , aj;2)...) есть нормированное условием
1<i<n
решение системы (3.210),
Vj(0)= Y a(j,i)V°.
1<i<n
Пусть векторы Vfc , Xfc = X0 -нормированные собственные векторы опе-T(0)
пространству Im(P1 (0)):
T(0)Vfc = XfcVfc ,VJ-Im(P1(0)). Из уравнения (3.209) мы находим:
< Vfc , (T(0) — X0)Vj >= (Xfc — Х0) < Vfc , Vj >= — < Vfc , Vc6j(0) > и получаем:
Vj M = Vj (0)+
(X0 — Xfc)-1 < , VVj(0) > Vk) u + o(/2)
221
где Ak , фк система собственных значений и собственных функций оператора T(0), a bj дается формулой (3.211). Так как
V(Ak = Ao) : ф(0)±фк,
то
W^ (0) + ?фj W2 = 1 + o(?2). 3.8 Компактные операторы.
3.8.1 Определения и основные свойства компактных операторов.
Определение 3.8.1. Линейный оператор
T : B1 ь B2
B1
B2
В силу теоремы 2.3.3 (см. стр. 129) это определение эквивалентно следующему.
T
вательности {T(xn) | 1 < n < то, Wxn | B1W < 1} можно выделить
B2
Предел этой последовательности может и не принадлежать множе-
T(b(0 , 1))
Напомним (см. ту же теорему 2.3.3), что в полном метрическом пространстве множество M компакт, если оно замкнуто и сверхограниче-но, т. е. для любого б > 0 существует такой конечный набор шаров {b(xj ,б), 1 < j < т,(б)}, что
M С (J b(xj , б). j
{xj} С M
печной б-еетыо для множества M.
Определение 3.8.1 эквивалентно следующему определению.
T
T( b(0 , 1))
222
Все данные выше определения эквивалентны. Иногда компактный оператор определяется как оператор, который любую слабо сходящуюся последовательность переводит в последовательность, сходящуюся по норме. Мы не будем использовать это определение.
Лемма 3.8.1. Если линейный, оператор компактен, то он ограничен и поэтому непрерывен.
Доказательство. Если {Xn | 1 < n< оо}с B1 такая последовательность, что
||Xn | BJ < 1 , И T (Xn) | B2 К — оо , n — оо,
то из последовательности T (Xn) нельзя извлечь сходящуюся в простран-B2
ства Cl(T(b(0 , 1))). Следовательно,
sup{||T(ж) | B2K | X Є b(0 , 1) С B1} < оо, T
B1
печную размерность, не любой непрерывный оператор в нем компактен. Иногда компактные операторы называются вполне непрерывными. Перечислим некоторые очевидные свойства компактных операторов.
T1 T2 T = aT + №
-компактен.
2. Если оператор T компактен, а оператор A ограничен, то операторы, AT , TA -компактны.
{Tn | 1 < n < о} С C(B1 — B2)
C(B1 —
B2) T T
Мы докажем только последнее утверждение. Достаточно доказать, что при любом с > 0 множество Cl(T(b(0, 1))) содержит конечную с-сеть . Пусть
y Є Cl(T(b(0 , 1))) , {Xj}С b(0 , 1) С B1.
Тогда
||y — T(Xj) | B2|| < ||y — T(x) | B2K + KT(x — Xj) | B2K < ||y — T(x) | B2И + 2ИT — Tn | C(B1 — B2|| +
||Tn(X — Xj) | B21|. (3.212)
223
Сначала выберем x є T(b(0 , 1)) так, чтобы вополнялоеь неравенство
||y - T(x) \ B2I < є/3.
Затем выберем n так, чтобы выполнялось неравенство
2||T - Tra \ L(Bi ь B2)| <є/3.
Потом выберем множество {xj \ 1 < j < N(є)} С b(0 , 1) С B1 так, чтобы множество {T(xj) \ 1 < j < N(є)} было конечной є/3-сетью в множестве Cl(Tn(b(0 , 1))). Тогда из (3.212) будет следовать неравенство
min{||y - T(xj) \ B2|| \ 1 < j < N(є)} < є,
что и доказывает наше утверждение.
Приведем пример компактного оператора.
Пусть D С Rd -замкнутая ограниченная область с гладкой границей, k(x , y) -непрерывная в области D х D функция.
Лемма 3.8.3. Оператор
K : Lp(D) ь C(D) , Kf (x) = J k(x , y)f (y)dy, 1 < p < то (3.213)
D
компактен.
Доказательство. Нам нужно доказать, что множество
M = {0(x) \ 0(x) ^ k(x, y)f (y)dy, ||f \ Lp(D)| < 1} D
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Это утверждение есть следствие следующих оценок.
\0(x)\ = \ j k(x, y)f (y)dy\ < \k(x, y)\qdyj ||f \ Lp(D)|,
< sup{\k(x, y)\ \ x є D , y є D}mes(D)1/<q||f \ Lp(D)||; \0(x) - 0(x')\<
sup{\k(x, y) - fc(x', y)\ \ y є D^es(D)1/q||f \ Lp(D)|.
При выводе этих оценок мы воспользовались неравенством Гельдера, положив q = - 1).
Из доказаной леммы следует, что оператор (3.213) компактен как оператор из Lp(D) в Lq(D) при любом 1 < q < то, так как из сходимости в пространстве C(D) вытекает сходимость в каждом из пространств Lq(D).
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed