Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 51

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 110 >> Следующая

P(X0)
Таким образом,
V(n > m) : B = Im((Xoid — T)n) ф Ker((Xoid — T)n). (3.166)
205
Доказательство. Из (3.154) следует равенство
v(n > 1):(T - Лоid)A-n = A-(n+i). (3.167)
Если
A-m = 0 ,НО A-(m+i) = 0,
то существует такой вектор z є B, что
X = A-mZ = 0 , A-(m+i)Z = 0.
Поэтому из (3.167) следует, что
3(x є B,x = 0) : (T - Лоid)xo = 0.
Мы доказали, что полюс резольвенты оператора есть собственное значение оператора.
Замечание. Если Ло -собственное значение оператора, то Ker^oid -T) = 0 (Л id - T)
чение всегда принадлежит спектру оператора, но собственное значение может не быть изолированной особой точкой резольвенты оператора.
Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы.
Из (3.153) и (3.154) следуют равенства:
v(n > 0) : An = (T - Лoid)A(n+l), (T - Лoid)Ao = P(Ло) - id.
Поэтому
v(k > 0) : (P (Ло) - id) = (T - Лoid)Ao = (T - Ло id)2 Ai = ...
(T - Лoid)(к+1)Aк = Ak(T - Лoid)(k+1). (3.168)
Следовательно,
v(n > 1) : Ker(^oid - T)n) c Im(P(Ло)). (3.169)
Из (3.144) и (3.168) следует, что
v(n > m, X є Im(P(Ло))) :
(T - Лоid)nx =(T - Лoid)nA-lX = A-(n+i)X = 0.
206
v(n > m) : Im(P(Ло)) c Ker((T - Лoid)n). (3.170)
Поэтому
Из (3.169) и (3.170) следует, что
V(n > m) : Im(P(Ao)) = Ker((T — Aoid)"). (3.171)
Если
x = (P (Ao) — id)z,
то в силу равенства (3.154)
x = (T — Aoid)AoZ = (T — Aoid)"A("—1)z Є Im((T — Aoid)"), поэтому справедливо включение
V(n > l) : Im(id — P(Ao)) С Im((T — Aoid)"). (3.172)
Теперь докажем, что
V(n > m) : Im((Aoid — T)") р| Ker((Aoid — T)") = 0. (3.173)
Пусть n > ти
x = (Aoid — T)"z , (Aoid — T)"x = 0. (3.174)
Тогда
(Aoid — T )2"z = 0,
и из (3.171) следует, что
z Є Im(P(Ao)) = Ker((Ao — T)"),
x=0
Утверждение (3.173) доказано. Итак, мы имеем:
V(n > m) : B = (Im(P(Ao)) 0 Im(id — P(Ao)) = Ker((Ao — T)" 0 Im((Ao — T)").
Теорема доказана.
A
dim(Im(P(Ao))) = n < то,
A
207
Доказательство. Пусть e1, e2 ... en -базис в пространстве Im(P(X0)). Так как n+1 векторов e1, Te1, ... Tne1 принадлежат пространству Im(P(X0)) и поэтому линейно зависимы, то должны существовать такие числа Cu1 j , 0 < j < n, что
P1(T)e1 := TjЄ1 = 0.
0<j<n
Точно так же должны существовать такие полиномы Pj (X), что
Vj : Pj(T)ej = 0.
Положим
Q(X) = P1(X)P2(X)...Pn(X).
Очевидно, что
Q(T )P (Х0) = 0. (3.175)
Если точка X0 не есть корень многочлена Q(X), то функция
W(X)=(1/Q(X) , |Х — Х°' <С (3.176)
V ; [0 , |Х — Х)0| > с к J
T
W(T)Q(T)P(X0) = P(X0).
Следовательно, X0 корень многочлена Q(X), и существует такое m < 00, что справедливо равенство
Q(X) = (X — X0)mh(X),
где h(X0) = 0.
Отсюда вытекает, что существует такое с > 0, при котором функция 1/h(X) аналитична в окрестности {X | |Х — X01 < с) и
V(|X — Х0| <с):(Х — X0)m = Q(X)/h(X),
Отсюда следует, что оператор 1/h(T) существует и
(T — X0id)mP (Х0) = ^ Q(T )P (Х0) = 0,
поэтому
V(n > m) : A_n = (T — X0id)nP(X0) = (T — X0id)(n_m)(T — X0id)mP (X0) = 0.
208
Теорема доказана.
Если Ao -изолированная особая точка, то число dim(Im(P(Ao)) называется алгебраической кратностью собственного значения, а число dim (Ker T)) называется геометрической кратностью собственного значения.
Из (3.169) следует, что всегда выполнено неравенство
dim(Ker(A0id - T)) < dim(Im(P(A0)), (3.177)
причем, как показывают примеры, неравенство может быть строгим.
Ниже мы уточним теорему 3.6.5 и докажем, что если условия теоремы выполнены, то порядок полюса резольвенты не может превышать алгебраичееой кратности собственного значения.
3.7 Возмущение изолированного собственного значения.
3.7Л Зависящие от параметра проекторы.
Напомним, что оператор
P є L(B ь B) называется проектором, если
P2 = P,
а пространство B есть прямая сумма своих подпространств Bf
B = Bi 0 B2 е... = е J] Bj,
j
если все подпространства Bj замкнуты,
V(x є B) : x = J] Xj , Xj є Bj,
j
и
Vj : Bj П (U =0.
Выясним связь между проектором и разложением пространства в прямую сумму своих подпространств.
209
P (id -
(id - P)2 = id - 2P + P2 = id
Если
x є Im(P)p| Im(id - P),
то x = 0, так как если справедливы равенства
x = Pz = (id - P)y,
то
Pz = P2Z =(P - P)y = 0.
Легко видеть, что
(x є Im(P)) (x = Px)
Следовательно, для любого проектора P є l(B — B) пространство Im(P) замкнуто и для любого проектора P є l(B — B) все простран-B
B = Im(P) 0 Im(id - P).
B
замкнутых подпространств:
B = Bi 0 B2.
x є B
x = xi + x2 , xi є B1, x2 є B2, (3.178)
и поэтому разложение (3.178) корректно определяет линейный оператор
P : x — xi є B1, (3.179)
P2 = P
Bi
(3.179) оператор замкнут и поэтому непрерывен. Очевидна
Лемма 3.7.1. Если P є l(B — B) -проектор и U є l(B — B) -обратимый оператор, то оператор
Q = UPU-1 (3.180)
P)
P.
210
-проектор.
Определение 3.7.1. Проекторы PhQ подобны, если они связаны равенством (3.180).
Лемма 3.7.2. Если, проекторы, PuQ подобны и
dim(Im(P)) = n< то, (3.181)
то
dim(Im(Q)) = n.
Доказательство. Если выполнено условие (3.181), то существуют такие векторы ?j Є В ж Є B*, что
V(x Є В): Px = l(j)(x)ej. (3-182)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed