Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 52

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 110 >> Следующая

1<j<n
Тогда из (3.180) следует, что
V(x Є B) : Qx = Y l(j)(U —1x)Uej. (3.183)
1 < j< n
Следовательно,
dim(Im(Q)) < dim(Im(P)) = n.
Осталось заметить, что соотношение подобия рефлексивно.
ej Є B
подпространстве пространства В, т0 векторы Є B*, которые удовлетворяют условию
) = 5j,
ej Є B
Из приведенных выше выкладок вытекает
Лемма 3.7.3. Пусть проекторы, PuQ связаны равенством (3.180), векторы ?j Є В , 1 < j < n, составляют базис в подпространстве Im(P) и векторы Є В* , -сопряженный базис. Тогда векторы, Uej , 1 < j < n составляют базис в пространстве Im(Q), а, функционалы,
x ь l(j)(U —1x), 1 < j < n
Uej , 1 < j < n
Теорема 3.7.1. Если, проекторы, PuQ удовлетворяют условию
- QW < 1, (3.184)
то они, подобны.
211
Доказательство. Определим операторы
U := QP + (id - Q)(id - P), V := PQ + (id - P)(id - Q), W := id - (P - Q)2.
Прямой выкладкой доказывается, что справедливы равенства
QU = UP, UV = VU = W.
W
U(VW-i) = (W-iV)U = id
следует, что тогда и оператор U обратим и поэтому проекторы PhQ подобны.
Теорема 3.7.2. Если P(?) Є L(B — B) -семейство проекторов, аналитически зависящих от параметра ? Є [? \ \?\ < 5], то существует такое аналитически зависящее от параметра ? Є [? \ \?\ < 5] семейство обратимых операторов U(?), что
P(?) = U(?)P(0)U-i(?), \?\ < 5. (3.185)
Доказательство. Положим
L(?) :=^?~P(?) - (?)^?~.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно
L(B — B)
dU?) = L(?)U(?), U(0) = id; \?\ < 5. (3.186)
d?
Решение этого уравнения существует, единственно и аналитически зави-?
нию и традиционный метод последовательных приближений для доказательства существования решения интегрального уравнения). Аналогично доказывается, что решение уравнения
dV^?) = -V(?)L(?), V(0) = id; \?\ < 5 (3.187)
d?
212
существует, единственно и аналитически зависит от //. Далее замечаем, что
|-V (/)U M = — V МВДЕ/ M + V МВДи M = 0,
поэтому
V(/)U(/) = id, |/| < C.
Аналогично показывается, что оператор
W(/) := UGu)V(/) — id
удовлетворяет дифференциальному уравнению
и поэтому
= L(/)W(/) — WМВД, W(0) = 0,
U(/)V(/) = id.
Следовательно, определенный как решение уравнения (3.186) оператор U(/)
U_1(/) = V(/).
Положим по определению
QM := UMP(0)VМ. (3.188)
Легко проверить, что определенный равенством (3.188) оператор удовлетворяет дифференциальному уравнению
^ = [L(u) , Q(u)] , Q(0) = P(0).
Дифференцируя равенство
P2(/) = P(/),
P(/)
Следовательно,
P(/) = Q(/).
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы и конструкции, использованной при доказательстве теоремы 3.7.3 вытекает
213
Теорема 3.7.3. Пусть P(/) -семейство проекторов, которые аполитичны при \j\ < 5 как функции со значениями в L(B ь-> B). Пусть
<iim(Im(P(0))) = n < то.
Тогда
V(M < 5) : Am(Im(P(/))) = n,
в пространстве Im(P(/j,)) есть такой базис {ej(/), 1 < j < n], а, в пространстве B* есть такие векторы , 1 < j < n], что
< Iі (j) \ ej (j) >= 5j,
и функции
j ь ej (j) є B , j ь є B *
аналитичны.
3.7.2 Аналитическое возмущение изолированного собственного значения.
1, Нам потребуются некоторые элементарные алгебраические факты. Сейчас мы не будем предполагать, что алгебра A снабжена какой-либо топологией. Пусть алгебра A как линейное пространство представлена в виде прямой суммы своих подпространств:
A = Ai 0A2, Ai р| A2 = 0. (3.189)
Aj
A
V(osi ,bi є Ai) : ciibi є Ai; V(i = j , a- є Ai, bj є Aj) : a-bj = 0. (3.190)
Примером такой констукции является простанство C2, рассматриваемое как алгебра с покомпонентным сложением и умножением. В этом случае A1 есть алгебра элементе в вида (z ; 0), алгебра A2 есть алгебра элементов вида (0; z). Ниже будет рассмотрен и другой пример.
id j є Aj
V(aj є Aj) : id j aj = aj id j = aj ; V(C- є , i = j) : id j = aiidj = 0
(3.191)
Мы назовем элемент а~г0с є локально обратным, элементу a,i є , если
a"Lai = aia~iloc = idj. (3.192)
Прямой выкадкой на основе введенных определений проверяется
214
Лемма 3.7.4. 1. Справедливо равенство
idi + id2 = id,
где id -единица алгебры, л.
2. Если элементы, ai є Лі имеют локально обратные a-loc є Лі, mo элемент (Ci1 + a2) обратим, в алгебре л и
a-L + a-L = (ai + a2)-i.
В рассмотреном выше примере локальными единицами являются элементы (1; 0) , (0; 1).
B
своих подпространств:
B = B 0 B2.
Рассмотрим алгебру Ло с l(B — B), которая состоит из коммутирующих операторов, каждый из которых приводит подпространства Bf
у (a є ло) : aBj с Bj.
Пусть Pj -проектор на подпроетр анство Bj с B. Разложим ал г ебру л0 в прямую сумму:
Ло = лоP1 0 лоP2.
Тогда операторы Pj есть локальные единицы в подалгебрах л0Pj. 2, Пусть
b(0 ,5о) э ? — T(?) є l(B — B)
-аналитическая функция параметра ? є b(0, 5о) с C1 со значениями в
l(B — B)
Пусть точка \о есть изолированная точка спектра оператора T(0). Напомним, что это означает следующее:
\о є o(T(0)) , Ш(\о , 0-(T(0)) \ Хо) > 0.
Ясно, что изолированная точка спектра оператора есть изолированная особая точка его резольвенты.
Пусть число є > 0 и открытая область D с C1 с гладкой границей 3D выбраны так, что
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed