Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3.5.7. Пусть
b — a = cd.
A
R(A , a) , R(A , b) , (id — dR(A , a)c)-i, справедливо равенство
R(A , b) — R(A , a) = R(A , a)c(id — dR(A , a)c)-idR(A, a). (3.118)
191
Доказательство. Из второго резольвентного уравнения R(A , b) — R(A , a) = R(A , b)cdR(A , a) следует равенство
dR(A , b)c — dR(A, a)c = dR(A, b)cdR(A , a)c.
Пусть
a = dR(A , b)c , в = dR(A , a)c. Тогда предыдущее равенство можно записать в виде
a — в = ав,
поэтому
(id — в )(id + a) = id , (id + a) = (id — в)-
Далее имеем:
R(A , b) — R(A , a) = R(A, b)cdR(A , a) = (R(A , a) + R(A , a)cdR(A , b))cdR(A , a) = R(A , a)(id + cdR(A , b))cdR(A , a) = R(A , a)c(id + dR(A , b)c)dR(A , a) = R(A , a)c(id + a)dR(A , a) = R(A, a)c(id — в)-idR(A, a).
Лемма доказана.
Из тождества Гильберта (3.108) и непрерывности резольвенты вытекает
R( A , a)
A
dR(A' a) = —R(A , a)2. (3.119)
dA
A L(B ь B)
Тогда мы получим, что при любых x Є B , f є B* функция A ь< f | R(A , a)x > аналитична на резольвентном множестве элемента a и не постоянна. Следовательно, в силу теоремы Лиувилля она обязятельно имеет особые точки. Отсюда вытекает, что спектр любого элемента банаховой алгебры не пуст. Итак, справедлива
Теорема 3.5.5. Спектр a (a) любого элемента a банаховой алгебры, есть
{A |
192
|A|<||a||}.
3.5.3 Операторное исчисление.
Пусть а -элемент банаховой алгебры и а (а) -его спектр.
Определение 3.5.11. Fa -это множество всех функций, каждая из которых аналитична в открытой окрестности (своей для каждой функции) множества а (а).
Множество Fa есть алгебра функций относительно поточечного сложения и умножения функций. Пусть f є Fа и Df -открытая окрестность множества а (а), которая выбрана так, что гр аница I = ODf есть гладкая кривая и множество l (J Df принадлежит области, в которой функция f
Df
область: область Df и кривая 1(f) могут состоять из нескольких компонент. Поставим каждой функции f є Fa оператop f (а) є A по правилу:
Opa : Fa -A , f (А) - f (а) = — фЯ(А, a)f (X)dX. (3.120)
Интеграл по замкнутому контуру l в (3.120) берется в направлении по-
а Df
грал (3.120) иногда называется интегралом Данфорда.
Opa
Fa
Доказательство. Линейность отображения (3.120) очевидна. Нам нужно доказать, что произведение функций при отображении (3.120) переходит в произведение операторов. Пусть f є A, g є A. Будем считать, что области Df ,D9 выбраны в соответствии с описанными выше правилами и
A
Ds !J ODg с Df , dist(ODf , OD9) > 0.
Из тождества Гильберта следует равенство f (а)9(а) =
193
Но
/(A)g(//)R(A , a)(// - A) = 0, /(A)(A - ^dA = /M.
Поэтому
1(9) 1
/(a)g(a)= 2b ^ R(A, a)/(A)g(A)dA.
Теорема доказана.
Рассмотрим примеры.
Пусть A есть алгебра 2 X 2 матриц,
Тогда
= 1 2" a= 12 Xj'
(Aid - a)= (V A-2Iy det(Aid - a) = (A + I)(A - 3) , a(a) = {-1, 3},
R(A, a)= 1 1 1/2 -1/2/ . 1 11/2 1/2
A +1 V-1/2 1/2 I A- 3 V1/2 1/2
/(a) = /(-1) -11//22 -11//22 + /(3) 11//22 11 //22 .
Пусть
Тогда
a = 1 1 a = 0 1
(Aid - a)= (V A-V det(Aid - a) = (A - 1)2 , a (a) = {1},
R(A,a) = A--T (0 0) + 1A -1)2 (0 0
/ (a)=/ (1)(00)+//(1K0 9.
Из формулы (3.104) следует
194
Лемма 3.5.8. Если контур OV содержит внутри себя спектр элемента a:
a (a) С V,
то
— ф R(X, a)dX = id. (3.121)
2-кг J
BV
Заметим, что если аналитическая в некоторой открытой окрестности замкнутого множества .!/функция ф(Х) не имеет нулей на множестве M, то у множества M есть открытая окрестность, в которой функция 1 /ф(Х) аналитична. Из этого замечания вытекает
Теорема 3.5.7. Если ф Є F„, то элемент ф(а)~1 существует в том
ф( X)
a
Доказательство. Если ф Є F„ н
V(X Є a(a)) : |ф(Х)| > 0,
то существует такая открытая окрестность D спектра a (a), что функции ф(Х) и 1/ф(Х) аналитичны в D и
V(X Є D) : ф(Х) • ф(Х) = 1. (З-122)
Из (3.122) и леммы 3.5.8 следует, что элемент определен и
ф(a) ^ TTT = ^ ф((і) = id. ф( a) ф( a)
Теперь предположим, что функция ф(Х) имеет ноль в точке Хо Є a (a). Тогда
ф(Х) = (Хо - Х)^(Х),
где функция ^(Х) ^^^^^^^^^а в окрестности спектр а элемента a. Следовательно,
ф(0) = (Х0 id — a)h(a).
Если бы у элемента ф(0) существовал обратный, то тогда мы имели бы равенство:
id = (Х0 id — a)h(a)ф(a)~1 = h(a)ф(a)~1 (X0id — a),
195
из которого следует, что элемент (Aoid — a) имеет обратный, а это противоречит включению
A0 Є a(a).
Теорема доказана.
Теоремы 3.5.6 и 3.5.7 можно изложить в немного другой редакции. Введем в множестве Fa соотношение эквивалентности, положив
Vi(A) ~ V^(A), еели 3O(a(a)) , V(A Є O(a(a))) : Vi(A) = Vb(A) (3.123)
Здесь O (a (a)) -открытая окрестность мн ожества a (a).
Обозначим символом V тот класс эквивалентности, который содержит функцию V Є Fa. Умножение и сложение функций в алгебре Fa естественно индуцируют умножение и сложение в множестве Fa всех классов эквивалентности, и относительно этих операций множество Fa становится алгеброй с единицей: единица в алгебре f,, -это тот класс эквивалентности, который содержит функцию V(A) = 1. Элемент V Є Fa обратим в том и только том случае, если существут не имеющая нулей на спектре элемента a функция V Є г\). F,
