Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
244
Определение 3.10.1. Функция
T (t) : R\ э t —
T(t) Є L(B
B)
называется полугруппой класса C0, если
1. V(ti Є R\ , t2 Є R\) : T(ti)T(t2)
2. T(0) = id Є L(B - B).
3. (Vx Є B) функция R+_ э t — T(
T(t)(x) Є B
T (ti + t2).
непрерывна на [0 , то).
Полугруппой называется функция R1 э t — T(t) Є L(B — B), кото-
Co
рывности этой функции. Иногда условие 3 формулируется в более слабой форме, которую мы здесь не рассматриваем,
T( t) Co
норме на любом, фиксированном, интервале:
T( t)
L(B — B)
Доказательство. Из условия 3 определения 3.10.1 следует, что для любого x Є B функция t — WT(t)xW непрерывна на [0, то), поэтому
Отсюда и из теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.2 (см. стр. 160) следует,
Лемма доказана.
Следствием этого утверждения является
T( t) Co
константы, M < то , и < то, что
V(t > 0) : sup{WT(т)W \ т < t] < C(t) < то
V(t> 0 ,x Є B) : sup{WT(t)xW \ т < t] = C(x) < то.
что
sup{WT(т)W \ т < t]< C(t) < то.
V(t > 0) : WT(t)W < Mexp(ut).
(3.254)
245
Доказательство. Пусть
t = n + 8 , 0 < 8 < 1.
Тогда
|T(t)|| = ||T(n)T(8)| <
IlT(1)1-||T(8)||<||T-|T(8)||<
sup{||T(т)|| | T < 1}exp(tln ||T
Лемма доказана.
Замечание 3.10.1. О свойствах гладкости функции
t — ||T (t)||
мы сейчас ничего сказать не можем: из наших рассуждений не следует даже измеримость этой функции.
Пусть T(t) -полугруппа класса C0 и
Ah(x) = ^(T(h)x - x).
Положим
Dom(A) := {x | 3 lim Afc(x)}, (3.255)
V(x Є Dom(A)) : A(x) = lim Ah(x). (3.256)
Определение 3.10.2. Определенный равенством (3.256) оператор на-
T( t)
A T( t)
T( t) A
A T( t)
x Є Dom(A)
(0 , то) э t — T(t)x
дифференцируема и
^ = AT (t)x.
246
Доказательство. Справедливо равенство
(T (t + 6t) — T (t))x
V(x Є Dom(A) , 6t > 0) :
6t
(^)T (t)x = T (t)( ^ 0 —
AT(t)x = T(t)Ax , 6t — 0,
(T(t — — T(t))x = T(t — it) (T(6t> — 'dx) —= T(t)Ax.
Лемма доказана.
Замечание 3.10.2. Инфинитезимальный оператор есть правая производная полугруппы в нуле. В лемме 3.10.3 утверждается, что существует обычная, производная.
A
T (t) класса, C0, то следующие условия эквивалентны:
1. Dom(A) = B,
2. ||T(t) — id|| — 0 , t — +0,
3. 3(A Є L(B — B)) : T(t) = exp(tA).
Доказательство.
1 — 2. Если предел (3.255) существует для любого x Є B, то в силу теоремы Банаха-Штейнгауза
sup{||(T(h) — id)/h|| | 0 < h < ho} = C < оо,
поэтому
||T(h) — id|| < Ch — 0 ,h — 0. 2 — 3. Пусть б > 0 выбрано так, что
V(t < б) : ||T(t) — id|| < 1/2.
Тогда
<7(T(t)) С 6(1, 1/2) с C1,
и так как функция ln(z) аналитична в круге b(1, 1/2), то определен оператор
V(0 < t < б) : V(t) = lnT(t).
Если 0 < nt < б, то
V (nt) = ln T (nt) = In(T (t)n) = nV (t).
247
Отсюда следует, что
V (t/n) = 1V (t), n
и
V(m , n , —t < є) : V I —t) = — V(t). n Vn / n
V(t) t
V(O < t < є) : V(t) = tA , A є L(B — B),
T(t) = exp(tA) , 0 < t < є.
С помощью полугруппового тождества это равенство распространяется на все t > 0.
3 — 1 Утверждение тривиально.
Рассмотрим примеры.
Пусть
B = R1 , V(z Є R1) : T(t)z = exp(at)z.
Это соотношение задает в пространстве R1 полугруппу класса C0 с ин-финитезимальным оператором
Az = az.
Область определения инфинитезимального оператора в рассматриваемом случае совпадает со всем пространством и инфинитезимальный оператор ограничен.
Пусть B = C([0, 2п]) -пространство всех непрерывных на отрезке [0 , 2п] периодичных: f (0) = f (2п) , f Є B функций с обычной нормой. Положим
T (t)f (ф) = f (ф + t).
Это сотношение задает в пространстве C ([0, 2п !полугруппу кл асса C0 с инфинитезимальным оператором
Af (ф)=*т.
Область определения инфинитезимального оператора -множество всех непрерывно дифференцируемых функций. Это множество плотно в пространстве C([0 , 2п]), но не совпадает с ним, а инфинитезимальный оператор неограничен.
248
3.10.1 Теорема Хїілле-Фїіллтіттса-Иостіды.
Следующая теорема является основной в теории полугрупп класса C0.
Теорема 3.10.2. Оператор A есть инфинитезимальный оператор полугруппы класса C0 в банаховом простраистее B тогда и только тогда, A
AB Cl(Dom(A)) = B.
A
3. Существуют такие константы M < то , и < то, что полуплоскость Re X > и принадлежит резольвентному множеству оператора A и резольвента R(X , A) удовлетворяет оценке
V(n> 0 , X > и) : |R(X , A)I < M|X - ш\~п. (3.257)
Доказательство этой теоремы мы получим как следствие нескольких лемм.
Сначала мы будем доказывать необходимость условий теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды и ниже мы предполагаем, что T(t) -полугруппа класс-C0
B
1 Ґ
Mtx = - j T(т)xdr.
Это определение корректно, так как функция t — T(t)x неперерывна. Лемма 3.10.4. Если T(t) полугруппа, класса, C0, то
V(x Є B) : lim Mtx = x.
Доказательство. Фиксируем x Є B. Из определения полугруппы клас-C0
V(є > 0) , 36(e) > 0 , V(t< 6(e)) : ||T(t)x - x|| < e.
Поэтому
1 Ґ
V(t < 6(e)) : ||Mtx - x|| ^ / ||T(т)x - x\idT < e.
t0
249
Лемма доказана.
Лемма 3.10.5. Справедливо равенство
AhMt = AtMh. Это утверждение доказывается прямым вычислением:
HtAhMtX = (T(H) - id) / T(т)xdr = і (T(h + т) - T(т)) хат =
Jo Jo
і T(т- T(т= і T(т) (T(t) - id) xdт = HtA1Mn.
