Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть a < a < ? < b. Нам достаточно доказать, что характеристические функции множеств [a, а) , (а , ?) , (? , b] интегрируемы.
Доказательство. Монотонность функции F(t) очевидна. Докажем ее непрерывность справа. Пусть en — +0 , n — со. Справедливо равенство
[a, t] = р|[а, t + бп].
Отсюда следует, что
V(x Є [a , b]) : I([a , t + бп] | x) \ I([a , t] | x), n — о, поэтому в силу теоремы Benno Леви
F(t +бп)= /№,* + 6n]|x),(dx) — / «MI« = F(t).
a<x<b a<x<b
Первое утверждение теоремы доказано. F(t)
рой //(dx). В дальнешем по умолчанию мы будем функцию распределения нормировать условием
F(a) = 0
(иначе можно рассматривать отрезок [a', b] , a' < a). Пусть
a = x0 < xi < ... < xn = b
разбиение отрезка [a, b]. Пусть функция g(x) непрерывна на отрезке [a , b]
V(x Є (xj , x(j+i)] , 0 < j < (n - 1)) : gn(x) = g(0) , Cj Є (xj , x(j+1)L Sn = max{|xj+1 — XjII 1 < j < (n — 1)}.
Функция gn(x) зависит от разби ения {xj} и выбора то чек Cj, но
V(x Є [a , b]) : gn(x) — g(x) , n — оо ,Sn — 0, (1.121)
и
|gn(x)| < sup{|g(x)| | x Є [a, b]}.
Далее мы замечаем, что
1. функция gn(x) постоянна на полуинтервалах (xj , xj+1],
2. характеристическая функция полуинтервала (xj , xj+1] есть разность характеристических функций отрезков [a , xj+1] и [a , xj].
56
Поэтому в силу теоремы Лебега
/ g(x)?(dx) = lim / gn(x)?(dx) = J s"^° J
a< x< b a< x< b
й>( Y g(Cj)(F(x(j+1)) — F(xj))) . (1.122)
\0<j<n-1 /
Теорема доказана.
Сумма, которая стоит в правой части равенства (1.122), называется интегральной суммой Римана-Стильтьеса от функции g(x) по функции F(x)
сумм, называется интегралом Римана-Стильтьеса и обозначается так:
lini ( ? g(Cj)(F(x(j+1)) — F(xj))) =/
\0<j<n-1 J Ja
= g(x)dxF (x). (1.123)
a
[a , b]
странство элементарных функций содержит все непрерывные функции и в интеграле Даниэля интегрируемая функция непрерывна , то интеграл Даниэля может быть вычислен как предел интегральных сумм Римана-Стильтьеса.
Замечание 1.2.1. Легко видеть, что утверждение теоремы справедливо для более шерокого класса функций: функций g(x), которые можно представить как равномерный предел кусочно постоянных на полуинтервалах (xj , xj+1] функций.
F(x)
ке [a , b] , F (a) = 0. На множестве всех непрерывных функций C ([a, b]) определим элементарный интеграл формулой
v(g є C([a, b])): 1o(g) = Hm ( ? g(Cj)(F(xu+d) — F(xj)) J . (1.124)
\0<j<n /
Пусть 1(g) интеграл Даниэля, построенный по определяемому формулой (1.124) элементарному интегралу I0 (g).
Определение 1.2.10. Интеграл 1(g) мы будем называть интегралом Лебега-Стильтьеса.
Мы будем обозначать интеграл Лебега-Стильтьеса символом
g(x)dxF(x) := 1 (g).
57
хотя его, вообще говоря, нельзя вычислить как предел интегральных сумм,
а
жеств символm Al-
Лемма 1.2.3. Если, функция f (x) интегрируема:
f (x) є L(X), то она, измерима относительно а-алгебр ы, A/.
f(x) є L(X)
теристическая функция I({x | f (x) < a} | x) интегрируема. Это следует из теоремы Benno Леви и равенства
I({x | f (x) < a} | x) = lim min(1 , n(a - f (x))+).
Измеримая функция может быть не интегрируема в смысле определения 1,2,8. Пример: функция f (x) = x-2 на полуинтервале (0, 1] с обычной мерой Лебега. Однако справедлива
Лемма 1.2.4. Если, функция, f (x) измерима относительно меры, /(dx) и почти всюду по мере /(dx) ограничена, то она интегрируема в смысле
/(dx).
Доказательство. Без оганичения общности мы будем считать, что
п.в. |f(x)| < 1.
В этом случае стоящая в правой части (1.115) сумма такова:
Sn =J2 m2-n/({x | m2-n < f (x) < (m + 1)2-n}). (1.125)
|m|<2n
Каждое слагаемое в этой сумме можно записать в виде
m2-n/({x | m2-n < f (x) < (m + 1)2-n}) =
2m2"(n+1)/({x | 2m2"(n+1) < f (x) < (2m + 1)2-(n+1)})
+ 2m2-(n+1)/({x | (2m + 1)2-(n+1) < f (x) < (2m + 2)2-(n+1)})
Вычитая после этого из суммы Sn сумму Sn+1; мы легко получаем оценку
|Sn - Sn+1| < const.2-n,
58
из которой следует, что последовательность Sn фундаментальна и поэтому имеет предел. Лемма доказана.
Эту лемму можно уточнить. Положим
A(m , n) = {x | m2"n < f (x) < (m + 1)2-n}.
Определим функциональную последовательность
Fn(x) := E m2"nI(A(m, n) | x).
\m\<2n
Справедлива
Лемма 1.2.5. Если, интеграл, (определенный, по Даниэлю) и, мера, / связаны равенством (1.116), то справедливо равенство
lim / |Fn(x) - f (x)| /(dx) = 0. (1.126)
n—oo /
Доказательство. Очевидна оценка j |Fn(x) - f (x)| /(dx) = E JI(A(m, n) | x)|Fn(x) - f (x)|/(dx) < 2"n+1,
\m\<2n
которая и доказывает наше утверждение.
Fn( x)
/ Fn(x) /(dx) = E m2-n/({x | m2-n < f (x) < (m + 1)2"n}),
\m\<2n
Отсюда и из предыдущей леммы вытекает
Теорема 1.2.4. Интегал Лебега в смысле определения 1.2.8 совпадает с интегралом Даниэля в смысле определения 1.1.8.
Мы доказали это утверждение для ограниченных функций, для остальных можно воспользоваться теоремой Лебега.
Выясним связь между множествами меры ноль в смысле определения 1.1.1 и теми измеримыми в смысле определения 1.2.9 множествами, для которых определенная равенством (1.116) мера равна нулю.
