Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(x) а
Л г заданной на а-алгебре Л мерой ?, то ее интегралом Лебега по мере // называется предел
/ /(x) ?(dx) := Jx
lim У 2"rafc?({x | 2—rafc < /(x) < 2—ra(fc + 1)}), (1.115)
ra—oo ' J
—oo<fc<oo
если этот предел существует и если ряд в правой части (1,2,8) сходится абсолютно при всех и.
Пусть /0 внешняя мера для определенной равенством (1,108) боре-левской меры. Отвечающую этой внешней мере меру Лебега мы будем называть классической мерой Лебега или просто мерой Лебега. На боре-
[0 , 1]
с мерой Бореля (1.108).
1.2.2 Построение меры множества в схеме Данизля.
При построении интеграла по схеме Даниэля мера множества определяется через интеграл.
X
ментарных функций Lo(X) и элементарный интеграл /о, причем выполнены условия 1.1.1-1.1.7. В этой части, как и в предыдущей, мы будем считать, что пространство элементарных функций L0(X) дополнительно удовлетворяет условиям 1.1.8 и 1.1.9, причем выполнено условие нормировки (1.5). Пусть / -интеграл и L(X) -пространство интегрируемых функций, которые построены по схеме Даниэля на основе пространства элементарных функций L0(X) и элементарного интеграла /0.
Мы покажем, что в рассматриваемой ситуации интеграл / порождает некоторую а-алгебру множеств в X и меру на этой а-алгебре.
52
Определение 1.2.9. Множество A С X измеримо (относительно интеграла I) , если его характеристическая функция интегрируема:
I(A | x) є L(X),
и мерой //(A) множества A называется интеграл от его характеристической функции
/(A):= I (I(A |-)). (1.116)
Докажем, что определение 1.2.9 согласуется с определением меры, которое дано выше.
Теорема 1.2.1. Естественная область определения, меры, в смысле опре-
аа а
Доказательство теоремы мы разобъем на несколько лемм.
Лемма 1.2.1. Если, множеств а Au B измеримы в смысле определения 1.2.9 , то множества A|JB, AQB, A \ B тоже измеримы в смысле этого определения.
AB
ния 1.2.9, то согласно лемме 1.1.12 существуют такие последовательности fri(x) , f»f (x) элементарных функций, что
п.в. : fA(x) - I(A | x) , /n(x) ^ I(B | x) , n - то.
Положим
0„(x) = min(1 , |fraA(x)| , |?f (x)|).
Очевидно, что
п.в. : 0ra(x) I(Ap|B | x) , 0ra(x) є L(X) , 0 < 0ra(x) < 1.
По теореме .\(>о(>\<\ \\\)(>:\v:\hm)\\ переходе мы можем утверждать, что I( A B | x) A B
I(A (J B | x) = I(A | x) + I(B | x) - I(A pi B | x).
AB
A\B
I(A \ B | x) = I(A | x) - I(A pi B | x).
Лемма доказана.
Мы доказали, что измеримые в смысле определения 1.2.9 множества
а
53
а
Лемма 1.2.2. Пусть последовательность измеримых в смысле определения 1.2.9 множеств Aj удовлетворяет условию
A* р| Aj = 0 , г = j. (1.117)
Тогда объединение множеств A = |Ji A* измеримо в смысле определения 1.2.9 и
i i
Доказательство.Во-первых заметим, что из справедливого при всех A С X , B С X
I(A | x) + I(B | x) = I(A B | x) + I(A B | x)
следует конечная аддитивность определенной равенством (1.116) функции множеств:
I(I(A | •)) + I(I(B | •)) = I(I(AU B | •)) + I(I(AP B | •)).
При выполнении условия (1.117) справедливо равенство
I(A | x) = I(Ai | x).
i
Заметим, что в силу условия (1.117) справедливо неравенство
I( E I(Ai | •)) < 1.
1<i<n
В силу леммы Benno Леви отсюда следует, что правая часть (1.119) есть интегрируемая функция и справедливо равенство (1.118). Лемма доказана.
Из лемм 1.2.1 и 1.2.2 вытекает утверждение теоремы 1.2.1 В теории интеграла известна теорема (теорема Рисса и ее обобщение: теорема Рисса-Маркова-Какутани), которая утверждает, что при определенных условиях любой линейный непрерывный функционал на пространстве C(X) представим как интеграл. При определении интеграла по схеме Даниэля непрерывный функционал по определению есть интеграл, а леммы 1.2.1 и 1.2.2 утверждают, что такой функционал порождает меру, поэтому доказанное нами утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Рисса в схеме Даниеля.
В дальнешем нам понадобится следующее утверждение.
54
X
Положим
Тогда
Vx Vx
x
0n>1(x) = min(1, n(a - x)+),
0n,2(x) = min(1, n(? - x)+ , n(x - a)+),
0n,3(x) = min(1, n(x - ?)+).
0n,i(x) — I([a , a) | x) , n — оо, |0n,i(x) < 1, 0n,2(x) — I((a , ?) | x) , n — оо, |фп,2(x) < 1,
0n,3(x) — I((? , b] | x) , n — OO, |0n,3(x) < 1
и интегрируемость соответствующих характеристических функций множеств вытекает из теоремы Лебега (см. 34). Теорема доказана.
Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия предыдущей, теоремы, /(dx) -порожденная интегралом мера 1.116,
F(t) := j (I([a,t] | x)ju(dx). (1.120)
a<x<b
Тогда:
1. Функция, F(t) монотонно не убывает и, непрерывна, справа, на, отрезке [a , b] :
Vt є [a, b] : F(t + 0) = F(t).
2. Если, функция, g(t) непрерывна, на, отрезке [a, b], то справедливо равенство (1.122).
55
ствителъной оси:
X = [a, b] С R1.
Если пространство элементарных функций L0([a , b]) содержит все непрерывные функции:
C([a,b]) С Lo([a,b]),
то а-алгебра всех измеримых в смысле определения 1.2.9 множеств содержит а-алгебру борелевскихмножеств отрезка [a, b], т. е. наименьшую а-алгебру, которая содержит все открытые множества отрезка
