Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
IjK(m) = Rd ,K(m) С K(m + 1). (1.64)
т
Определение 1.1.12. Мы будем говорить, что заданная в неограниченной области D С Rd функция f (ж) интегрируема по области D, если m I(D K(m) | x)
липипеде K (m).
f(x)I(D K(m) | x)
K(m)
3. Конечен предел:
lim / |f (x)|I(Dp|K(m) | ж) dx < то. (1.65)
т—о°./ K(m) ' '
В этом случае мы по определению полагаем
f(x) dx := lim f(x)I(D K(m) | x) dx.
Jd m—0°J к(т) 1 1
В дальнейшем интеграл в смысле определений 1.1.11-1.1.12 мы также будем называть интегралом или интегралом Лебега, если уточение необходимо и не будем специально фиксировать внимание на том, что интеграл понимается как несобственный.
Из леммы 1.1.12 следует, что интеграл в смысле определения 1.1.9 есть предел интегралов Римана от непрерывных функций, поэтому на интеграл в смысле определения 1.1.9 с помощью операции предельного перехода легко переносятся обычные правила действия с интегралами ( замена переменных, интегрирование по частям, аддитивность относительно области интегрирования и т.д.) Однако сама операция предельного перехода в интеграле Лебега отличается от операции предельного перехода в интеграле Римана и будет изучена нами ниже.
31
1.1.4 Предельный переход в интеграле Лебега.
Нас будет интересовать следующая задача. Пусть последовательность интегрируемых функций {fn} при n ею в каком-то смысле сходится
ff интегрируема и ее интеграл есть предел интегралов от функций ,/',/.' Основными результатами этой части являются две теоремы: теорема Лебега о предельном переходе в интеграле и теорема Рисса-Фишера о полноте L(X)
Мы начнем с доказательства теоремы Беппо Леви.
Теорема 1.1.1. Пусть последовательность {фп} С L(X) удовлетворяет условиям:
n.e.0ra(x) > 0 , I( фк) <C, (1.67)
i<k<n
Cn
1. Ряд
n
ф( x)
L(X)
2. Справедливо равенство
I(Ф) = E I(Фп). (L68)
n
Доказательство. В силу леммы 1.1.9 каждую функцию фп^) можно представить в виде
Фп^) = fn(x) - gn(x) , (1.69)
где
fn , gn є L+ (X) , gn(x) > 0 , I(gn) < 2-n. (1.70)
Из неотрицательности функций фп^) следует неравенство
fn(x) = Фп^) + gn(x) > 0,
поэтому
I+(^ Д) = I+( ? фк) + I+( ? Qk) < C +1.
i<k<n i<k<n i<k<n
32
Мы видим, что последовательности частных сумм
Sn(f) = 52 fn,Sn(g) = /2 дк
1<k<n 1<k<n
удовлетворяют условиям леммы 1,1,8: это монотонно неубывающие последовательности функций из пространства L+ (X) с ограниченными в совокупности интегралами. Следовательно, в силу леммы 1,1,8 почти всюду при n оо эти суммы имеют пределы, эти пределы принадлежат пространству L+(X):
п.в. 3S(f)(х) : lim Sn(f)(х) = S(f)(х) , S(f) Є L+(X),
n—>oo
п.в. 3s: lim Sn(g)(x) = S(g)(x) ' S(g) Є L+(X)'
n—o
и справедливы равенства:
/+(S(f)) = lim 1+(Sn(f)) , /+(S(g)) = lim 1+(Sn(g)).
n—o n—o
Поэтому почти всюду существует предел ф(х) := lim (Sn(f - Sn(g)(x))
n—o
и справедливо равенство
/(ф) = lim (/+(Sn(f)) - /+(Sn(g))) = lim ^ /(фк).
nn
n—o
1<k<n
Теорема доказана.
L(X)
вателъпостъ функций {fn(x)} имеет равномерно ограниченные интегралы:
fn Є L(X) , |/(fn)| <C, где C не зависит от n, и почти всюду
либо fn(х) / f (х) , либо fn(х) \ f (х), (1-71)
то определенная в (1.71) функция, f (х) принадлежит пространству
L(X)
f Є L+(X)и, /(f)= lim /(fn).
33
Для доказательства этого утверждения достоточно рассмотреть либо последовательность
фи = /и-1 — /и , /0 = 0 ,
либо последовательность
фи = Лі — /и-1 , /0 = 0 ,
и применить доказанную теорему.
Следствие 1.1.3. Если принадлежащая пространству L(X) функция, /(x) почти всюду неотрицательна, и интеграл от нее равен нулю, то функция, /(x) почти всюду равна, нулю.
Для доказательства данного утверждения достаточно применить теорему Беппо-Леви к ряду
Yn/(x)-
и
В частности, справедливо
Следствие 1.1.4. Если характеристическая, функция,
-л-/ л і \ I 1 ,X є A I(A | x) = <
0 , x є A
множества, A С X интегрируема:
I(A | x) є L(X) и интеграл, от нее равен нулю:
I(I(A | •)) = 0,
A
1.1.1.
Следующая теорема называется теоремой Лебега о предельном переходе в интеграле и часто применяется в приложениях,
Фи є
L(X)
п.в. 3 ф^) : ф^) = lim фга^) , (1-72)
34
и существует такая интегрируемая функция фо(х) Є L(X), что
Vn : п.в. |фп(х)| < фо(х), (1-73)
то определенная равенством (1.72) функция интегрируема:
ф Є L(X), (1.74)
и справедливо равенство
/(ф) = lim /(фп) . (1.75)
n—o
Таким образом, если выполнены условия (1.72)-(1.73), то мы можем утверждать, что обе части равенства
lim /(фп) = /(lim фп),
n—o n—o
сущесвуют и равны.
Доказательство. Определим функции
fn,k(х) := max^n+j(х) | 0 < j < k} , gn,k(х) := пип{фп+,-(х) | 0 < j < k}. Справедливы оценки
|gn,k(х)| < фо(х) , |fn,k(х)| < фо(х). (1.76)
Очевидно, что
fn,k+i(x) > fn,k(x) , gn,k+i(x) < gn,k(х). В силу следствия 1.1.2 и оценки (1.73) справедливы утверждения
В(/п(х) Є L(X)): lim fn,k(х) = fn(x)' (1.77)
3(gn(х) Є L(X)): lim g^k(х) = gn(x). (1.78)
k—oo
В силу (1.72) определенные равенствами (1.77) -(1.78) функции удовлетворяют условиям:
fn(x) \ ф(х) , gn(x) / ф(х) , n ^ о; Vn : |gn(x)| < фо(х) , |fn(x)| < фо(х).
