Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 18

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 110 >> Следующая

Мы уже обсуждали этот вопрос в следствии 1.1.4 и утверждении 1.1.6. Остановимся на этом еще раз.
59
Лемма 1.2.6. Множество Z С X есть множество меры ноль в смысле определения 1.1.1 в том и только том случае, если множество Z
Z
MZ) = 0.
Z
ления 1,1,1, то согласно этому определению характеристическая функ-Z
п.в. I(Z | x) = 0, (1.127)
Z
интегрируема:
I(Z | x) Є L+(X),
и
MZ) = і(i(z | •)) = 0.
Z
1 (I(Z | •)) = 0, Z
смысле определения 1,1,1, Лемма доказана. Очевидно
Следствие 1.2.1. Если мера множества и интеграл связаны равенством
MA) = j I(A | x) Mdx), (1.128)
то определения 1.1.2 1.1.3 эквивалентны, определениям,
Определение 1.2.11. 1. Свойство P(x) справедливо почти всюду, если множество точек x Є X, где свойство P(x) не справедливо, есть множество, мера которого в смысле определения (1.128), равна нулю.
P(x)
X
P: X Э x — P(x) Є {truth , false}
Тогда,
Определение 1.2.12. P(x) = truth почти всюду, если M{x | P(x) = false}) = 0.
60
Именно в этом смысле мы можем теперь понимать термин почти всюду во всех предыдущих рассуждениях.
Когда нужно пояснить, относительно какой меры мы рассматриваем свойство почти всюду, мы будем писать п.в, mod(?).
Из доказанной нами леммы вытекает и утверждение 1,1,7.
Из леммы 1.2.6 и утверждения 1.1.3 следует, что мера (1.116) на о-алгебре A1 полна в следующем смысле: если Z С A Є и ?(A) = 0, то Z є Ai и ?(Z) = 0.
Определение (1.116) не исчерпывает все интересные и важные для
X
определение которых естественно задавать иначе.
о
X
лить интеграл по 1.2.8. Этот интеграл принять за элементарный интеграл, а потом по построенному интегралу задать новую меру. Можно показать, что мы получим исходную меру. Таким образом, при построении интеграла в конечном счете безразлично с чего начинать: с задания меры или элементарного интеграла.
1.2.3 Измеримые функции.
Ai о
жеств, а мера ? на с-алгебре A1 и интеграл связаны соотношением (1.128). Обозначим множество измеримых (см. определение 1.2.6) относительно с-алгебры A1 функций символом L(X). Таким образом,
(f Є L(X)) (V(a Є R1) : {x | f (x) < a} Є Ai). (1.129)
Множество L(X) зависит от с-алгебры A1. Например, если о-алгебра состоит из двух множеств: 0 и X, т0 в пространство L(X) входят только
X L(X)
из линейных комбинаций характеристических функций полуинтервалов
Пусть в пространстве R1 задан а о-алгебра борелевских множеств, в пространстве X задана произвольная с-алгебра и L(X) -множество отображений
f : X — R1, -измеримых в смысле определения 1.2.6.
Лемма 1.2.7. Справедливы, следующие утверждения.
1. Множество L(X) есть линейное пространство: если f (x), g(x) Є L(X), mo af (x) + ^g(x) Є L(X).
61
2. Если f (x) Є L(X),то |f (x)| Є L(X). 5. Если f (ж) Є L(X), g(x) Є L(X), то f (x)g(x) Є L(X). 4- Если мера ц полна и последовательность измеримых функций {fn(ж)} почти всюду имеет предел:
3 f (ж) : п.в. mod(?) lim fn(x) = f (ж), (1.130)
n—oo
f(x) f(x) Є
L(X)
{ fn( x) }
множество А тех точек x, где последовательность {fn(x)} фундаментальна (т.е. имеет предел ), принадлежит о-алгебре A1.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточ-
f(x) , g(x)
{x 1 f (x) + g(x) < a} =
ЦІ ({x | f (x) < m/n} P|{x | g(x) < a — m/n})
— oo<m<oo , n> 1
измеримо.
Второе утверждение следует из равенства
{x | |f (x)| < a} = {x | f (x) < a} P|{x | f (x) > —a}
Заметим, что отсюда следует измеримость функции f2 (x), если функция f(x)
Так как
f (x)g(x) = 2((f (x) + g(x))2 — f 2(x) — g2(x)),
то из утверждений 1 и 2 следует утверждение 3.
Перейдем к доказательству четвертого утверждения. Пусть Z мно-x fn( x)
множестве C(Z) = X \ Z рассмотрим о-алгебру
A' = {А' | А' = А р| C(Z) ,А є A}
и сужение меры //на эту о-алгебру. Это можно сделать, поскольку мера
C(Z)
{x | lim fn(x) < a} = И И M {x | fn(x) < a + (1.131)
q>1 m>1 n>m
62
Стоящее в правой части равенства (1,131) множество измеримо относительно с-алгебры A'. Отсюда в силу полноты меры ? следует измеримость множества {x | Hmn^00 fn (x) < a} отноеительно с-алгебры A. Для доказательства последнего утверждения нашей леммы достаточ-
x
{ fn( x) }
A = HUH{x | |fp(x) - fP+q(x)| <
fc>1n>1p>n q>0
1.2.4 Сходимость по мере.
Пусть нам задана с-алгебра множеств A и мер а ? на этой с-алгебре.
Определение 1.2.13. Последовательность измеримых относительно с-алгебры A функций {fn (x)} фундаментальна по мере ?, если для любых a > 0 , б > 0 существует такой номер n(a, б), что при n > n(a, б) для всех p > 1 выполнено неравенство
?({x | |fn(x) - fn+p(x)| > a}) < б. (1.132)
с
A { fn( x) } ?
f •;./••. если для любых a > 0 , б > 0 существует такое число n(a, б), что n > n( a , б)
?({x | |fn(x) - f (x)| >a}) <б. (1.133)
с
Из неравенства
|fn(x) - fn+p(x)| < |fn(x) - f (x)| + |f (x) - fn+p(x)|
следует, что
?({x | |fn(x) - fn+p(x)| > 2a}) < (1.134)
?({x | |fn(x) - f (x)| > a}) + ?({x | |f (x) - fn+p(x)| > a}), (1.135)
поэтому из сходимости по мере следует фундаментальность по мере. Ниже мы докажем, что из фундаментальности по мере следует сходимость по мере. Однако сначала мы докажем, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed