Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Снова примения следствие 1.1.2, мы можем утверждать, что
ф Є L(X) и /(ф) = lim /(fn) = lim /(gn).
n—o n—o
35
Но очевидно, что
I (gn) < I (Фи) < I (fn).
Теорема доказана.
Рассмотрим пример. Пусть
an = / fn(x) dx ,где fn (x) = (cos(1/x))2n , x > 0 , fn(x) = 0 , x = 0. Jo
Ясно, что
lim fn(x) = 0 , x = — , m =1 fn(—) = 1.
Так как |fn (x)| < 1, а множество точек {xm | xm = , m =1,...} есть множество меры ноль, то мы можем утверждать что an — 0 , n — оо. Иногда полезно следующее уточнение теоремы 1.1.2.
Следствие 1.1.5. Если, выполнены, условия теоремы, 1.1.2, то
I(1Фп - Ф|) — 0 , n — оо. (1.79)
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
п.в. ^n(x) - ф^)| — 0 , n — оо , Vn : ^n(x) - ф^)| < 2фо^),
и применить доказанную теорему.
Доказання теорема показывает существенное отличие интеграла Лебега от интеграла Римана: интеграл Лебега при очень общих предположениях "выдерживает"поточечный предельный переход под знаком интеграла.
Фиксируем внимание читателя на следующем обстоятельстве: теорема Лебега 1.1.2 доказана нами для интеграла, понимаемого в смысле определения 1.1.8. Если же интеграл понимается как несобственный в смысле определения 1.1.11, то необходимо еще рассмотреть возможность перестановки операций предельного перехода в 1.63
Следующие три леммы являются вариациями на тему теоремы Лебега и часто исползуются в приложениях.
Лемма 1.1.13. Если последовательность интегрируемых функций ^n(x)}
Ф( x)
п.в. lim фп^) = ф^),
36
и модуль функции ф^) ограничен сверху интегрируемой, функцией: п.в. |ф^)| < фо^) , фo(x) є L(X),
ф( x)
ф^) є L(X)
и справедливо неравенство
|I(ф)|< I(фо). Доказательство. Определим функцию
V>n(x) = max(min^n(x) , фо^)) , — фo(x)).
Ясно, что
п.в. : |Vn(x)| < фо^) , lim Vn (x) = ф^).
n—оо
Поэтому в силу теоремы Лебега
Є L(X) и lim I(Vv1) = I(ф).
n—оо
Но
|I(Vn) | < I(фо),
поэтому
|I(ф)|< I(фо). (1.80)
Утверждение доказано.
Лемма 1.1.14. Если последовательность интегрируемых функций ^n(x)} удовлетворяет условиям,:
п.в. фп^) > 0 , lim фп^) = ф(x) , I(фи) < C, (1.81)
и—о
где C не зависит от n, то определенная в равенстве (1.81) функция ф( x)
I(ф) < C.
Доказательство. Рассмотрим последовательность Vu(x) = inf{фк(x) | k < n < то}. Эта последовательность удовлетворяет условиям:
п.в. : Vn(x) / ф(x) , I(Vn) < C. Поэтому в силу следствия из теоремы Беппо Леви
ф^) Є L(X) , I(ф) < C.
Лемма доказана.
37
Лемма 1.1.15. Если последовательность интегрируемых функций [фп(х)} удовлетворяет условиям,:
п.в. lim фп(х) = ф(х) , Vn : I(|фп|) < C, (1.82)
n—oo
то определенная, в равенстве (1.82) функция, ф(х) интегрируема и выполнено неравенство:
|I(ф)1< C. Доказательство. Очевидно, что
lim | фп( х) | = | ф( х) | .
n—oo
Поэтому в силу леммы 1.1.14 |ф(х)| Є L(X). Теперь достаточно воспользоваться леммой 1.1.13.
Теперь мы готовы к доказательству одного из основных для нас фактов теории интеграла Лебега: теоремы Рисса-Фишера о полноте про-L(X)
Теорема 1.1.3. Если последовательность интегрируемых функций fn(x) удовлетворяет условию:
lim sup{I(|fn - fn+m|) | 0 < m < то} = 0, (1.83)
п—о
то
1. В пространстве L(X) существует такая функция f (х), что
lim I(|fn - f |) = 0. (1.84)
—о
2. Существует такая подпоследовательность {fn(j)(x)} последовательности {fn(x)}, что
П-в. fn(j)(x) — f (х) , j — оа
Доказательство. Напомним, что про последовательность, которая удовлетворяет условию (1.83), говорят, что она удовлетворяет условию Коши L(X) L(X)
Из условия (1.83) следует, что существует такая подпоследовательность fn(j) (x) поеледовательности fn (x), которая удовлетворяет условию:
V(m>n(j)) : I(|fn(j) - fm|) < 2-j. Для такой подпоследовательности сходится ряд
Y I (|fn(j+1) - fn(j)D < ТО 1<j<oo
38
Функции
x — |fn(j+1)(x) - fn(j)(x)|
интегрируемы, поэтому из сходимости этого ряда в силу теоремы Беппо Леви следует, что
п-в. Yl |fn(j+1)(x) - fn(j)(x)| < °0, 1< j<oo
и поэтому
п-в. Y (fn(j+1)(x) - fn(j) (x)) < С», 1< j<oo
Но
Y (fn(j+1)(x) - fn(j)(x) = fn(m+1)(x) - fn(1)(x), 1<j<m
поэтому
п.в Bf (x) : lim fn(m)(x) = f (x). (1.85)
m—oo
Так как
V m : 1 (|fn(m)|) < 1 (|fn(m) - fn(1)|) + 1 (|fn(1)|) < 1 + 1 (|fn(1)|),
{fn(m)}
основе этой леммы мы можем утверждать, что определенная равенством (1.85) функция f (x) принадлежит пространству L(X). Применяя лемму 1.1.15 к последовательности
фт^) = fn(m)(x) - ffc(x) , k > N(б),
мы получим, что
I (|f - fk |) < б, k>N (б).
Теорема доказана.
{ fn( x) }
говорят, что она сходится к функции f (x) в пространстве L(X). Из теоремы Рисса-Фишера следует, что в этом случае из последовательности { fn( x) }
f(x) {fn(x)}
при этом может не сходится ни в одной точке. Приведем соответствующий классический пример.
39
Пример 1,1,14. На отрезке [0 , 1] определим функции , ^ fl , x Є ГП , 1 , 0 < k < n,
Упорядочим индексы функциий /n;k: Будем считать, что {n, k} > [n', к'}, если n > n', а при n _ n' еели k > k'. Ясно, что
/ fn,k (x) dx _ 1/n — 0 , n — оо ,
но предела при {n, k} — то у функций /n>k(x) не существует ни в одной x Є [0 , 1]
