Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
—O
Для определенной равенством (1.98) Lp-nopMbi справедливы неравенства Гельдера и Минковского: для доказательства этого утверждения достаточно выписать соответствующие неравенства в каждом прстран-стве Lp(K(m)) и потом перейти к пределу m — то. Пространство Lp(D) с определенной равенством (1.98) Lp-nopMoft полно. Доказательство проводится небольшим изменением доказательства теоремы 1.1.6: замеча-
{ /n}
нормы (1.98), следует, что она фундаментальна по норме каждого про-Lp(D K(m))
последовательность {/n(j)} можно выбрать так, что она будет сходиться в
L(D K(m))
без изменения.
Lp(D)
для того случая, когда норма определяется равенством (1.98).
44
Лемма 1.1.18. Пусть 1 < p < том функциональная последовательность {/n(x)} С Lp(D) удовлетворяет условиям:
1.3/ : Vm ||/n — / | Lp(D Q K(m)) || - 0, (1.99)
2. lim sup{IП(K(m + s) \ K(m)))|/n|p | n,s} = 0. (1.100)
/(x)
странству Lp(D) и
| /n — /| p - 0 , n - о.
Для доказательства достаточно проверить, что из условий (1.99) и
{ /n}
пространства Lp(D).
Для пространства Lp(Rd) можно дать следующее уточнение леммы 1.1.18
Лемма 1.1.19. Пусть K(m) -куб в пространстве Rd : K(m) = {x | x = (x1,...,xd) , |xj| < m.}. Пусть функциональная, последовательность {/n(x)} С Lp(Rd) при некотором, p , 1 < p < то, удовлетворяет следующим условиям.
1 . Vm : /n(x) - /(x), , n - о , x Є K(m),
2. V(m , n) : п.в. |/n(x)| < 0m(x) Є Lp(K(m)), 0m(x) не зависит omn.
3. lim sup{ / |/n(x)|pdx | 1 < n< то} = 0. (1.103)
m—oc J\x\>m
/(x)
странству Lp(Rd) и
lim / |/n(x) — /(x)|pdx = 0.
n—o /
Чтобы пояснить роль условия (1.100) рассмотрим последовательность
/n(x) = exp(—(x — n)2) в пространстве L1 (R1). Ясно, что
Va , b : J exp(—(x — n)2) dx - 0 , n - то,
но
exp(—(x — n)2) dx = \fn
45
Условия (1,100)-(1.103) аналогичны условию равномерной сходимости несобственного интеграла Римана и является упрощенным вариантом условия равномерной интегрируемости (см, [4, 5]). При исследовании вопроса о предельном переходе в интеграле условия типа равномерной интегрируемости обычно налагаютя в том случае, если интеграл понимается как несобственный или как интеграл по а-конечной, но не конечной мере.
/(x) Є
L(D). Рассмотрим пример. Пусть
/(x) _ (x(x + 1)2(x — 1)-2ln2x)-1/a , a > 1. Легко проверить, что /(x) Є La([0, оо)), но /(x) Є Lp([0 , то)) , p _ a.
1.2 Мера и измеримые функции.
1.2.1 Сводка основных определений теории меры.
Понятие меры часто встречается в анализе и математической физике. Приведем краткую сводку соответствующих определений. Подробно с этими понятиями в классической трактовке можно ознакомиться по приведенному в конце главы списку литературы. В следующем пункте мы разберем, как эти понятия вводятся в принятой нами схеме Даниэля.
Определение 1.2.1. Система A подмножетев множества X называется алгеброй множеств, если выполнены условия:
1. 0 Є A ,X є A.
2. V(A єА , B Є A): A pi B ЄА , A |J B єА , A \ B є A.
Алгебра множеств называется а-алгеброй, если она замкнута относительно счетных объединений и пересечений множеств:
V(Ai є A) : (J Ai є A , p|A є A.
i
Поскольку а-алгебра есть алгебра множеств, то было бы достаточно потребовать зам і IVi осі н только относительно счетных объединений
а
алгебра замкнута относительно образования счетных пересечений множеств и их дополнений.
46
Рассмотрим отрезок [0 , 1]. Наименыпая а-алгебра, которая содержит все открытые интервалы (a , b) С [0, 1], называется борелевской алгеброй множеств отрезка [0 , 1].
Если X -топологическое пространство, то борелевской алгеброй множества X называется наименьшая а-алгебра, которая содержит все от-
X
X
будем обозначать символом B(X),
Определение 1.2.2. Заданная на а-алгебре A функция множеств
? : A- [0 , 1]
называется мерой, если она удовлетворяет условиям нормировки:
?(0) = 0 , ?(X) = 1 (1.104)
а
У(Аг є A ,Ai f Aj = 0 , i = j) : p(? Ai) = Y ?(Ai). (1-Ю5)
i i
а
Из (1.105) следует, что а-аддитивная мера // удовлетворяет условию: если An такая система подмножеств множества X, что
An є A , An+i С An , р| An = 0, (1.106)
n
то
?(An) 0 , n ^ оо. (1.107)
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что
C(An)= J C(An) \ C(An-i), Ao = 0,
l<m<n
поэтому
1 = ?(X) = lim /(C(An)) =
n—>oo
1 - lim ?(An).
n—o
а
Часто рассматривают меры, которые не удовлетворяют условию нормировки, а меры, которые этому условию удовлетворяют, называют вероятностными мерами. В этом параграфе мы будем рассматривать меры, которые удовлетворяют условию нормировки, т.е. вероятностные меры.
47
Можно доказать, что существует единственная мера //,,. область задания которой есть борелевская алгебра подмножеств отрезка [0, 1] и которая удовлетворяет условию
V (a , b) С [0 , 1] : /о((a , b)) = b — a. (1.108)
Эту меру мы будем называть стандатрной мерой Бореля или просто
[0 , 1]
X
X
которой есть наименьшая а-алгебра, содержащая все открытые подмно-X
Kcпі на <7-алгебре Л за.чана некоторая мера ?, то отвечающей этой мере внешней мерой называется функция множеств ?*, которая для всех
