Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
П.в. фп(x) / ((x) , gn(x) / g(x),
Положим
fn фп gn.
Тогда
п.в.: |f - fn| < |(ф - фп) - (g - gn)| < (ф - фп) + (g - gn) — 0 , n — OC^
L+(X)
I (|f - fn|) < I (ф - фп)+ I (g - gn) =
!+(ф - фп) + I+(g - gn) — 0 , n — оо.
Конструкция обычно используемого в современном анализе понятия интеграла принадлежит Лебегу (и именно для интеграла Лебега обычно используются обозначения (1.54)). В введенных нами терминах классическую конструкцию интеграла Лебега в общих чертах можно описать так. Рассматривается ситуация, описанная в 1.1.1 (или в 1.1.2) и сначала интеграл распространяется на такие функции, которые принимают значения 0 и 1, а потом с помощью линейных комбинаций этих функций интеграл распространяется на те функции, которые можно приблизить такими линейными комбинациями. Конструкция Лебега дает более подробную информацию о пространстве интегрируемых функций, но она требует и больших трудов на превоначальном этапе исследования. Интеграл Лебега будет обсужден нами после введения понятия меры множества. В большинстве случаев интеграл Лебега и интеграл Даниэля совпадают при соответствующем соглосовании при выборе элементарного интеграла и меры, поэтому в дальнейшем, следуя традиции, в тех случаях, когда интеграл Даниэля и интеграл Лебега совпадают, полученное нами расширение интеграла мы будем называть интегралом Лебега. Справедливо
28
Утверждение 1.1.7. Пусть пространство X есть параллелипипед K С
K := {x|x = (xi, ... , xd) є Rd , ai < xi < bi, < bi},
(и отезок [a , b] в случае d = 1). Пусть пространство элементарных функций L0(K) есть пространство всех непрерывных функций, заданных на K : L0(K) = C(K), а элементарный интеграл I0 на L0(K) есть интеграл Римана:
Ш) = / f (x) dx.
I
ским интегралом Лебега. Это означает, что:
f(x) L(K)
K
f
V (f є L(K)): / f (x) dx := I(f). (1.56)
Jk
В левой части (1.56) стоит интеграл Лебега, в правой части -интеграл Даниэля.
3. Множество Z С K есть множество меры ноль в смысле определения (1.1.1) в том и только том случае, если мера Лебега множества Z
Так как мы не вводили интеграл Лебега, то мы сейчас не будем доказывать это утверждение, но обсудим его позже после введения понятия меры множества. Сейчас это утверждение можно принять за определение интеграла Лебега в Rd,
Равенство (1.56) мы будем рассматривать как определение стоящего в левой части этого равенства символа.
Утверждение 1.1.7 дает нам основание дать
Определение 1.1.9. Мы будем говорить, что определенная в паралле-липипеде K С Rd функция f (x) интегрируема по Лебегу в параллелипи-K L(K)
L(K)
элементарных функций взято пространство непрерывных в параллели-пипеде функций и в качестве элементарного интеграла взят интеграл Римана.
Заметим, что часто под интегралом Лебега понимают интеграл, по-строеннный по предложенной Лебегом схеме, но с произвольной мерой. Такой интеграл также называется интегралом Лебега-Стильтеса.
В дальнейшем мы будем придерживаться следующих определений.
29
Определение 1.1.10. Пусть D -ограниченная область в Mr и K -параллелипипед, который содержит область D : K D D, Мы будем говорить, что заданная D f(x) D
1, Функция I(D | x) интегрируема в параллелипипеде K,
2, Функция f (x)I(D | x) интегрируема в параллел ипипеде K, При этих условиях мы полагаем по определению
/ f (x) dx = f (x)I(D | x) dx. (1.57)
Jd Jk
Читателю предлагается проверить, что правая часть (1.57) не зависит
K
В дальнейшем интеграл в смысле определений 1.1.10-1.1.12 мы будем называть просто интегралом или интегралом Лебега, если уточение необходимо.
В общем случае при построении интеграла Даниэля не предполагается выполнение условия 1.1.8. Однако если это условие не выполнено и если функция f (x) = 1 не принадлежит пространству L(X), то работать с таким интегралом довольно трудно, и здесь часто помогает конструкция, аналогичная конструкции несобственного интеграла Римана в многомерном случае. Это обобщение понятия интеграла в смысле определения 1.1.8 можно назвать несобственным интегралом,. В общем случае мы определим это понятие так.
Условие 1.1.11. Пусть K(m) , m =1 ... -последовательность множеств, которая удовлетворяет условиям:
IJ K(m) = D , K(m) С K(m + 1). (1.58)
m
Предположим,, что для, каждого m построено пространство L(K(m)) Im L(K(m))
1.Vm : если f (x) є L(K(m))
mof (x)I(K(m) | x) є L(K(m +1)) (1.59)
2. Vm : I(Dp|K(m) | x) є L(K(m)). (1.60)
3. V(m, f є L(K(m))) :
Im(f) = Im+i(fI(K(m) |-)). (1.61)
4.Vm: (f (x) = 1) є L(K(m)). (1.62)
При выполнении этих условий мы определяем несобственный инте-
D
30
Определение 1.1.11. Мы говорим, что заданная в области D функция f (ж) интегрируема в области D в несобственном смысле, если конечен предел
lim /m(|f 11(DpIK(m) |.)) < то,
п,—>оо 1 1
т—оо
и в это случае мы по определению полагаем
f {x)v(dx) := lim /m(fI(Dp|K(m) | •)). (1.63)
m—> on 1 1
D m—оо
В случае неограниченной области D в евклидовом пространстве Rd и классического интеграла Лебега это определение конкретизируется так.
Пусть K(m) , m =1 ... -последовательность параллелипипедов, которая удовлетворяет условию:
