Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
X = K := [x\x = (xi, ... ,Xd) Є Rd , аі < Xi < bi, аі <h },
L0(X) := C(K)
пипеде K , g Є C(K) , g(x) > 0 , x Є K, а элементарный интеграл задан как интеграл Римана:
lim fn(x) dx = 0.
K := {x\x = (x1
...,xd) Є R , аі < xi < bi, аі < Ьі }.
(1.7)
6
Будет ли в этом примере выполнено условие неотрицательности элементарного интеграла, если функция g(x) в некотроых точках будет принимать отрицательные значения?
Пример 1.1.3. Пусть X = [a , b] С R1, Lo(X) = C ([a, b]) -пространство всех непрерывных функций на отрезке [a , b] , {xj} С [a , b], а элементарный интеграл задается формулой
W) = 52 a(j)f (Xj), (1.8)
j
где {a(j)} -такая последовательность , что
Vj : a(j) > Он J2a(j) < °°- (1-9)
j
Проверка условий 1.1.5-1.1.7 предоставляется читателю.
Пример 1.1.4. Пусть X = Z+ -множество неотрицательных целых чисел, L0(X) = Iх -пространство ограниченных числовых последовательностей:
({b(j)} є Iх) (sup{|b(j)| | j є Z+} < оо),
{a(j)}
(1.9), а элементарный интеграл задан формулой
1o({b(j )}) = ? a(j )b(j). (1.10)
j
Проверим, что выполнено условие 1.1.7. Пусть {bn(j)} такая последовательность элементов пространства Iх, которая удовлетворяет условию:
Vj : bn(j) — 0 ,п — OO , bn+1(j) < bn(j).
Справедливо равенство
1o({bn}) = ? a(j)bn(j) + ? a(j)bn(j). (1.11)
j<N j>N
Вторую сумму в (1.11) оценим так:
^ a(j)bn(j)l< sup{|bi(j)| | j є Z+} a(j).
j>N j>N
Теперь ясно, что вторая сумма в (1.11) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора N, а первая сумма может быть сделана малой за счет выбора п.
7
Пример 1,1,5. Пусть X = Z+ -множество неотрицательных целых чисел, L0(X) = Ї2 -пространство числовых последовательностей, которые удовлетворяют условию:
({b(j)}є I2) ((? |b(j)|2) < о). (1.12)
j
Пусть последовательность {a(j) Удовлетворяет условию: {a(j)} є I2 , a(j) > О
Проверим выполнение условий 1.1.5-1.1.7. Для этого сначала заме-Ї2
раций сложения и умножения на действительны числа, если эти операции определены по правилу
a{b(j)} + ? {g(j)} = {ab(j)+ ?g(j)},
так как
|b(j)+ g(j)|2 < 2(|b(j)|2 + |g(j)|2).
{ bn( j) }
Ї2
Vj : bn(j) — 0 ,п — °С , bn+1(j) < bn(j).
Справедливо равенство
1o({bn}) = ? a(j)bn(j) + ? a(j)bn(j) (1.13)
j<N j>N
Воспользуемся неравенством
| E a(j)bn т < (? |a(j ^(Y: кт2)1/2.
j>N j>N j>N
N
п
п
Пример 1.1.6. Пусть
X = (a , b] ,a = а0 < а1 < а2 < ... < aN = b -фиксированные точки и V(j < N - 1) : Aj = (aj ,aj+1] ,.
(1.14)
8
Lo(X)
Lo(X) э f (x)= Y, ?(j)I(Aj|x) ,?(j) Є R1.
(1.15)
o<j<N -1
Lo(X)
Io: Lo(X) э f (x) - Io(f)= f (x)d
x
a
?j (aj+1- aj)
(1.16)
o<j<N-1
Проверка условий 1.1.1-1.1.7 в дайнам случае предоставляется читателю.
Пример 1.1.7. Пусть X = (a , b] и Lo(X) -линейное пространство всех функций вида (1.15) при всех возможных выборах точек aj и всех N = 1 , 2 . . .
1.1.1 -1.1.7 в этом случае будут выполнены.
Нетривиальна только проверка условия 1.1.7. В дальнейшем результаты нижеследующих рассуждений нами не используются.
Пусть последовательность {fn(x)} С L(X) удовлетворяет условиям:
fn( x)
на отезке [a , b], поэтому множество всех точек разрыва всех функций fn( x) { xj} , j = 1 . . .
Положим
Множество C(Bc) замкнуто, функциональная последовательность {fn(x)} монотонно стемится к нулю в каждой точке этого множества и каждая функция fn (x) непрерывна на C(Bc), поэтому в силу теоремы Дини
{ fn( x) }
мерно на C (Bc). Пусть n(e) выбрано так, что
Vx: fn+1 < fn(x) , fn(x) 0 , n -> оо.
Bc = (J Уг ,V1 = (xi - 4-ге , x% + 4-ге).
(1.17)
V(x Є C(Bc) , n > n(e)) : fn(x) < є.
9
При n > п(б) представим функцию (1.15) как сумму двух функций
/ra(x) Jn (x) + /n(x)>
где
fn (x) = Yl ? Ix), (1-18)
j
/»(x) = E ?^K'Ix). (1.19)
В (1.18) суммирование ведется по тем j, для которых Aj f] C(B6) = 0, а в (1.19) суммирование ведется по тем j, для которых Aj' С B6, Так как в (1.18) ?j есть одно из значений функции /n(x) на множеетве C(B6), то Vj : ?j < б и
г b
/n(x)'dx < (b — a)б
Так как все точки aj по определению принадлежат множеству B6, то для всех тех j, по которым ведется суммирование в (1.19), выполнено включение [aj , aj+\] С B6. В силу леммы Гейне-Бореля каждый отрезок [aj , aj+i] покрывается конечным числом интервалов Vi вида (1.17).
A'j'
крывается конечной системой открытых интервалов Vi, суммарная длина
б
M = sup{/1(x) I x Є X}
Тогда
f /n'(x) dx < M I (Y !(Aj'|x)) dx < (sup /i(x)) • б,
Ja Ja^j' x
и при n > п(б) :
/n(x) dx < (M + b — a) • б.
Итак, мы доказали выполнение условия 1.1.7 в рассматриваемом нами примере.
Читателю рекомендуется обобщить этот пример на случай пространства Rd.
Другим обобщением этого примера является
10
Пример 1,1,8. Пусть F(x) -монотонно неубывающая непрерывная справа функция на отрезке [a , b] С R1 и пусть L0([a , b]) -линейное пространство всех функций вида (1.15). На пространстве L0([a , b]) определим элементарный интеграл формулой
1о(/)= E ?(j )(F (aj+i) — F (aj)). (1.20)
0<j<W-1
Проверка условия 1.1.7 получается дословным повторением предыдущих рассуждений.
