Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
п.в. hfc+i(x) = max gn,k+i(x) > max gn,fc(x) > max gnk(x) =
i<n<k+i ' i<n<k+^ ' i<n<k '
hk(x) hk(x) < max fn(x) = fk(x) < f(x),
i<n<k
поэтому
Vk : /0(hk) < /+(fk) <C. (1.42)
{hk(x)}
/0(hk) k
то по лемме 1.1.4 почти всюду существует предел
h(x) := lim hk(x),
k—o
L+(X)
h(x) L+(X)
L+(X)
/+(h) = lim /0(hk).
k—o
Из (1.40) следует, что
h(x) = lim hk(x) < f(x).
k—o
Следовательно,
V(n < k) ^.в. gn,k(x) < hk(x) < h(x) < f (x). (1.46)
23
В неравенстве (1.46) перейдем к пределу k — оо. Получим:
n.B./„(x) = lim дщк(x) < h(x) < /(x). (1.47)
fc—oo
В неравенстве (1.47) перейдем к пределу n — оо. Получим:
п.в. /(x) < h(x) < /(x). Следовательно, почти всюду справедливо равенство
/ (x) = h(x),
поэтому предел в (1.38) конечен почти всюду, определенная равенством (1.38) функция /(x) принадлежит пространству L+(X) и 1+(/) = I+(h). Из неравенства (1.42) следует, что
1+(/) = I+(h) = lim Io(hk) < lim I+(/k),
fc—>oo fc^TO
а из неравенства (1.47) следует, что
lim !+(/„) < I+(h) = 1+(/),
—o
поэтому
lim I+ (/„) = 1+(/).
—o
Лемма доказана.
Введем основное для дальнешего понятие пространства интегрируемых функции.
Определение 1.1.7. Функция / : X — R1 принадлежит пространству
L(X)
L+(X)
п.в. /(x) = <P(x) - g(x) ,ф,д Є L+(X). (1.48)
Таким образом,
(L(X) э /) ^ (3(ф Є L+(X), g Є L+(X)) , п.в. /(x) = ф^) - g(x)).
L(X)
грируемыми функциями.
24
Если справедливо представление (1.48), то
Vh є Lo(X) : п.в. f (x) = (ф^) + h(x)) - (g(x) + h(x)),
(ф + h), (g + h) є L+(X), (1.49)
поэтому представление (1.48) не единственно. В дальнешем нам будет важно, что этой неоднозначностью можно распорядиться специальным образом.
f(x) L(X)
то для, любого б > 0 существует ее представление в виде разности
L+(X)
п.в. f (x) = фе^) - ge(x) , ge(x) > 0 , I+(ge(x)) < б. (1.50)
g є L+(X)
{gn} С Lo(X) gn(x) / g(x) , n — о Io(gn) / I+(g) , n — о
п.в. f (x) = ф^) - g(x) = ф^) - gn(x) - (g(x) - gn(x)). (1.51)
n
L+(X) С L(X). f є
L(X) , (-f) є L(X),
L(X)
телъно операций поточечного сложения и умножения на действителъ-
f(x) L(X)
| f(x)| L(X).
f(x) є L(X)
ливо представление (1.48), поэтому
|f (x)| = max(ф(x), g(x)) - min(ф(x), g(x)), ф, g є L+(X), но в силу леммы 1.1.5
max^(x), g(x)) є L+(X) , min^(x), g(x)) є L+(X), | f(x)| є L+(X)
Введем основное для дальнейшего понятие интеграла Даниэля на L(X)
25
f(x)
L(X) I(f)
I(f ):= !+(ф) - I+(g). (1.52)
Докажем, что правая часть (1.52) не зависит от представления (1.48),
f(x)
п.в. f (x) = ф^) - g(x) = фі^) - gi(x).
Тогда
п.в. ф^) + g1(x) = ф1(x) + g(x).
Так как
(ф(x) + gi(x)) є L+(X) , ^i(x) + g(x)) є L+ (X), то в силу леммы 1.1.6 отсюда следует равенство
Мф) + I+(gi) = I+(фl) + I+(g),
поэтому
I+ (ф) - I+(g) = Мфі) + I+(gi).
Таким образом, интеграл Даниэля определяется заданием трех объектов:
X Lo(X)
Io
Приведем примеры.
Пусть основное пространство X есть полуотркрытый интервал: X = [0 , 1).
A1 = [0, 0.25) , A2 = [0.25, 0.5) , A3 = [0.5, 0.75) , A4 = [0.75, 1).
Определим пространство элементарных функций как множество функций вида
f (x) = Y aiI(Aj | x) , aj є R1. (1.53)
i<7<4
Если на этом пространстве элементарных функций мы определим элементарный интеграл как функционал, который каждой функции ставит
0 L(X)
[0 , 1)
26
0
Если на пространстве функций вида (1.53) мы определим элементарный интеграл как интеграл Римана:
г1 1
Io(f ) = J f (x) dx = 4(^1 + Ci2 + Ci3 + aA),
то множеством меры ноль будет только пустое множество и пространство L(X) будет совпадать с пространством L0(X), а никакие другие функции, кроме функций из L0(X), не будут интегрируемы.
Если мы определим пространство элементарных функций как множество всех конечных линейных комбинаций характеристических функций всех непересекающихся полуинтервалов множества [0, 1) а элементар-
L(X)
будет совпадать с пространством интегрируемых по Лебегу функций (мы подробно обсудим этот случай позже в разделе, посвященном понятию меры).
После того, как мы введем понятие меры и обсудим связь между интегралом Даниэля и классическим понятием интеграла Лебега, наряду с обозначением (1.52) мы будем использовать следующие общепринятые обозначения для интеграла
I (f) = fd? = f (x) dMx) = f (x) ?(dx)- (1-54)
Jx Jx Jx
Очевидна
Лемма 1.1.11. Интеграл Даниэля I(f) есть линейный, неотрицатель-
L(X)
I : L(X) ^ R1 ; У (а Є R1 , ? Є R1 , f Є L(X) , g Є L(X)) : I (af + ?g) = aI (f) + ?I (g) (f (x) > 0) (I(f) > 0).
Доказательство. Линейность очевидна, а для доказательства неот-
f(x) > 0
равенстве (1.48) :
ф(х) >
и в силу неотрицательности интеграла I+ справедливо неравенство >
I+ (g). "
Ясно, что на пространстве элементарных функций интеграл Даниэля совпадает с элементарным интегралом. Больше того, справедлива
27
f(x) L(X)
то существует такая последовательность элементарных функций {fn(x)}, что
п.в. fn(x) — f (x) , I(|f - fn|) — 0 , n — oo . (1.55)
Доказательство. Пусть
п.в. f (x) = (t>(x) - g(x) , ф , g Є L+(X).
Тогда существуют такие последовательности элементарных функций {фп} , {gn}, что
