Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В примерах 1.1.6-1.1.8 каждая функция из пространства элементарных функций принимала только конечное число значений. Прием, состоящий в рассмотрении подобного класса функций, часто используется в теории интеграла.
1.1.2 Множества меры ноль.
Рассмотим пример. Пусть X = [0 , 1] , L0(X) = C([0 , 1]), а элементарный интеграл задается формулой
/0(/) = / (1/2) (1.21)
Ясно, что в расматриваемом примере поведение интегрируемых функций на интервалах [0, 1/2) и (1/2, ] никак не влияет на интеграл. Чтобы в общем случае выделить несущественные для интеграла подмножества области задания интегрируемых функций, вводится понятие множества меры ноль.
Определение 1.1.1. Подмножество Z проетанетва X есть множество
б>0
следовательность
{/П(x)}c L0(X) , /n+i(x) > /П(x)
неотрицательных:
V(n,x): /П(x) > 0 элементарных функций, что
V(x Є Z) : sup{/n(x) I 1 < n < oo} > 1 и Vn : 1)(/П) < б.
Пустое подмножество считается множеством меры ноль по определению.
и
Z С X
писать
mes(Z) = 0.
Таким образом, mes(Z) = 0 в том и только том случае, если:
V(6 > 0) , 3{/П(x)} С L0(X) : 0 < /П(x) < /^(x) ... ,
V(x Є Z) : sup{/(x) I 1 < n < то} > 1,
Vn: І0(/П) <б. (1.22)
Непосредственно из определения сразу же следует важное для дальнейшего
Z С X Z' С Z
Z'
Замечание 1.1.1. Позже мы введем понятие меры множества и у нас появятся множества, мера которых равна нулю, а множества меры ноль в смысле определения 1.1.1 как раз и окажутся множествами, мера которых равна нулю. Но, вообще говоря, при иных определениях понятия меры множества меры ноль в смысле определения 1.1.1 и множества, мера которых равна нулю, -это разные классы множеств. Эти классы множеств могут совпадать при одних определениях понятия меры множества и не совпадать при других определениях понятия меры множества. Более подробно мы остановимся на этом при обсуждении понятия меры множества.
Приведем примеры.
Пример 1.1.9. В рассмотренном в начале этого параграфа примере множество [0 , 1/2) IJ (0 , 1/2] есть множество меры ноль.
x0 Є
[a , b] и x0 Є K есть множества меры ноль.
/n6 ( x)
/П(x) = max{0 , 1 — Ix — x0I/б} при б <С 1.
x0 Є { xj}
xj
Пример 1.1.12. В примерах 1.1.4-1.1.5 единственные множества меры ноль -это пустые множества.
12
Как видно из рассмотренных нами примеров, свойство множества быть множеством меры ноль зависит и от пространства элементарных Lo(X) Lo(X)
Io
Лемма 1.1.1. Счетное объединение множеств меры ноль есть множество меры ноль.
Доказательство.Пусть Zk С X , k = 1, ... -множества меры ноль и Z = У Zk. По определению множества меры ноль для каждого k суще-
k
ствует такая последовательность
{fn,k(x)} С Lo(X) ,n =1... что V(n, k) : 0 < fn,k(x) < fn+1,k(x)
и
V(x Є Zk) : sup{fn,k(x) | n Є Z}> 1 , Io(fn,k) < 2-kє. Пусть
Qn(x) := max{fn,k(x) | 1 < k < n}. Функциональная последовательность gn удовлетворяет условиям:
{gn} С Lo(X) , 0 < gn(x) < gn+1(x) , V(x Є Zk) : sup{gn(x) | 1 < n < о} > 1,
поэтому
V(x Є Z) : sup{gn(x) | 1 < n < о} > 1
и
Io(gn) < Io [ Y fn,k) < е
1<k<n
Так как є произвольно, то множество Z удовлетворяет условиям определения 1.1.1 Лемма доказана.
Введем понятие свойства, справедливого почти всюду. Рассмотрим некоторое зависящее от точки x Є X свойство P(x).
Определение 1.1.2. Мы будем говорить, что свойство P(x) справедливо почти всюду, если множество точек x Є X, где свойство P(x) не справедливо, есть множество меры ноль.
13
Это определение можно переформулировать так. Пусть P(x) -функция X
Определение 1.1.3. P(x)=truth почти всюду, если mes({x I P(x) = /alse}) = 0.
Для выражения "почти всюду "мы будем использовать сокращение п.в. Таким образом,
Особо отметим свойство сходимости почти всюду последовательности
/n(x)-
Определение 1.1.4. Последовательность /n(x) сходится почти всюду, если
Отметим, что так как свойство множества быть множеством меры
L0(X)
и от заданного на пространстве L0(X) элементарного интеграла I0, то свойство почти всюду зависит от выбранного пространства элементар-
L0(X) L0(X)
I0
пояснить, в каком именно смысле употреблен термин почти всюду. Тогда мы будем писать п.в, mod(^). Смысл этого обозначения и его связь с интегралом будут пояснены позже на стр. 60. Приведем пример.
[0 , 1]
[0 , 1]
нием точки x = 1/2. Если мы определим элементарный интеграл так, как в утверждении 1.1.1, то силу приведенного выше примера 1.1.10 точка x = 1/2 имеет меру ноль. Следовательно, в этом случае функция (1.23) непрерывна почти всюду. Однако если мы определим элементар-
1/2
меры ноль, и при определении элементарного интеграла формулой (1.21) функция (1.23) не будет непрерывна почти всюду.
Используем понятие множества меры ноль для уточнения условий сходимости к нулю интеграла от последовательности функций.
P: X Э x ь-> P(x) Є {truth , /alse}
(п.в. P(x) = truth)
(mes(C({x I P(x) = truth})) = 0)
mes(C({x I 3 lim /n(x)}) = 0.
ri—oo
(1.23)
14
{ fn} С
Lo(X)
Vx: 0 < fn+1(x) < fn(x) ип.в. lim fn(x) = 0,
mo
lim Io(fn) = 0.
Доказательство. Так как последовательность элементарных функций fn(x) Io(fn)
