Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
монотонно не возрастает и предел limn—oa Io(fn) существует. Нужно доказать, что этот предел равен нулю.
Пусть
M = sup{f\(x) | x Є X} ,Z = {x | lim fn(x) = 0}.
n—oo
Так как mes(Z) = 0, то существует такая последовательность элементарных функций gn, что
V(n,x є X) :0 < gn(x) < gn+1(x),
и
V(x Є Z) : sup{gn(x) | 1 < n < о} > 1.
Положим
hn(x) = fn(x) - Mgn(x).
Последовательность hn (x) состоит из элементарных функций и монотонно не возрастает, поэтому у неё в каждой точке существует предел (но в некотрых точках он может быть равен —о).
{ h n( x) }
V(n,x) : fn(x) < M,
то
V(x Є Z) : lim hn(x) < lim fn(x) — M < 0,
n—0 n—0
Если x Є C(Z) то limn—00 hn(x) < —M < 0. Поэтому
Vx : lim hn(x) < 0 ,
15
В дальнешем мы будем использовать обозначение
/+(ж) := max{0 , /(ж)}.
Заметим, что если /(x) -элементарная функция, то / +(ж) -тоже элементарная функция.
Последовательность h+(x) удовлетворяет условиям:
h+(x) Є Lo(X) , V(x Є X , n) : h++x(x) < h+ (x) , V(x Є X) : lim h+(x) = 0.
n—oo
Следовательно,
1o(/n) - MIo(Qn) = 1o(hn) < 1o(h+) 0 , П -^OO
В силу выбора последовательности Qn (x) отсюда следует, что 0 < lim Io(/n) < lim sup MIo(gn) < Me.
n—o
Так как e произвольно, то лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает
Следствие 1.1.1. Если /(x) Є Lo(X) и п.в. /(x) = 0, то Io(/) = 0.
Для доказательства этого следствия достаточно рассмотреть последовательность /n(x) = |/ (x)|, применить к этой последовательности доказанную лемму и неравенство |Io(/)| < Io(|/1).
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения. Если последовательность {an} удовлетворяет условиям
Vn: an+i < anw lim an = a,
n—o
то мы будем писать
an \ a.
{ a n}
Vn: an+1 > и lim an = a,
n—o
то мы будем писать
16
an / a.
Лемма 1.1.3. Если для каждого n множество
'и
{x I /u+l(x) > fu{x)}
есть множество меры ноль и
п. в. lim fu(x) = 0
и—оо
то
lim /с(/и) = 0.
и
о
Во-первых заметим, что если для каждого n множество Zn := {x | fu+1(x) > /и(х)} есть множество меры ноль, то множество [JZn есть
множество меры ноль, а при x Є U Zn справедливо утверждение
Аналогичные рассуждения в дальнейшем позволят нам не делать различия между утверждением, что некоторое свойство, справедливо почти всюду сразу для всех n Є Zh утверждением, что это свойство, справедливо почти всюду для каждого n Є Z,
По условию, mes(Z) = 0. Пусть gu(x) := min{/k(x) | 1 < k < n}. Если x Є Z, то gu(x) = fu(x) и п.в, gu(x) \ 0 , n — со. Так как
п.В. gn(x) = fu(x) , ТОІ"о(/и) = 1o(gu).
Так как последовательность gu(x) удовлетворяет условиям леммы 1,1,2, то 1о(/и) = Io(gu) — 0 , n — то.
1.1.3 Построение интеграла по схеме Даниэля.
Мы приступаем к построению расширеня пространства элементарных функций и распространению элементарного интеграла на это расширенное пространство. Расширять пространство элементарных функций мы будем в два этапа: сначала мы добавим некоторые поточечные пределы элементарных функций, а потом мы добавим функции, которые пред-ставимы как разность тех функций, которые мы добавили на первом этапе.
и
и
Vn: /n+i(x) < /n(x).
Пусть
17
Лемма 1.1.4. Пусть последовательность элементарных функций {fn} удовлетворяет двум, условиям,:
Vn : п.в. fn+i(x) > fn(x), (1.24)
sup{/0(fn) | 1 < n < то} = C < то . (1.25)
Тогда
п.в. 3f (x) : f (x) = lim fn(x) < то. (1.26)
n—>00
Доказательство. Во-первых заметим, что условие (1.24) эквивалентно условию:
Vn : mes{x | fn(x) > fn+i(x)} = 0. (1.27)
Во-вторых заметим, что утверждение леммы эквивалентно утверждению:
mes{x | lim fn(x) = то} = 0. (1.28)
n—oo
Рассмотрим последовательность
gn(x) := max{(ffc(x) - fi(x))+ | k < n}.
Ясно, что
Z := {x | lim fn(x) = то} = {x | lim gn(x) = то} (1.29)
n—o n—o
Последовательность неотрицательных элементарных функций gn(x) удовлетворяет условиям:
V(x , n) : gn+i(x) > gn(x) , п.в. gn(x) = fn(x) - fi(x),
поэтому
I0(gn) = I0(fn) - I0(f1)
и
Vn : /0Ы < 2C.
Следовательно, монотонно неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций egn(x)/2C удовлетворяет условиям (1.22) для множества (1.29), так как
Vn : J0(egn(x)/2C) < є, и V(x Є Z) : sup{egn(x)/2C | 1 < n < то} = то.
Лемма доказана.
18
X /(x)
L+(X)
{ /n( x) }
п.в. /n(x) / /(x), n — то и sup{|Io(/n)| | 1 < n < то} < то. (1.30)
Лемма 1.1.5. 1. Если /(x) Є L+(X) и п.в. g(x) = /(x), то g(x) Є L+(X).
L+(X)
ду:
(/ Є L+(X))=> (n.e. |/(x)| < то).
3. Если а > 0 ,в > 0u / (x), g(x) Є L+ (X) то а/(x)+ ^g(x) Є L+ (X). 4- Если /(x) , g(x) Є L+(X) mo
min(/(x), g(x)) Є L+(X) , max(/(x) , g(x)) Є L+(X).
Доказательство. Первое утверждение следует непосредственно из определения. Второе утверждение следует из леммы 1.1.3. Третье утверждение очевидно. Для доказательства четвертого утверждения достаточно воспользоваться непрерывности) функций max , min и очевидным неравенством
min(/n(x) , Qn(x)) < max(/n(x) , Qn(x)) <
max(/n(x) - /1(x) + |/1(x)| , Qn(x) - Q1(x) + |g1(x)|) < /n(x) + 2|/1(x)| + Qn(x) + 2|Q1(x)|.
Ясно, что всегда Lo(X) C L+ (X). В примере 1,1,3 пространство L+(X)
