Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Lo(X)
Утверждение 1.1.4. Если пространство X есть отрезок [a, Ь], пространство элементарных функций, есть множество C([a , Ь]) всех непре-
[a , Ь]
теграл Римана, то характеристические функции любого интервала (а , в) C [a, Ь] и отрезка [а, в] C [a, Ь] (а также характеристические функ-
( а , в] C [a , Ь] , [а , в) C [a , Ь]
L+(X)
Так как в рассматриваемой ситуации одноточечное множество (а также любое множество, состоящее из конечного чиса точек) есть множество меры ноль, то достаточно доказать, что характеристическая функция І((а, в) | x) любого интервала (а, в) C [a, Ь] принадлежит простран-L+(X)
Vx: І((а , в) | x) = lim min(1 , n(x — а)+ , — x)+). (1.31)
19
Стоящая в правой части равенства (1.31) последовательность есть та последовательность, которая требуется в определении 1.1.5. Аналогично доказывается
Утверждение 1.1.5. Если, пространство X есть параллелипипед
K := {x | x = (x1 ... xd) Є Rd , O7- < xj < bj , uj < bj},
пространство элементарных функций, есть множество C(K) всех непре-
K
интеграл Римана, то характеристические функции любого открытого параллепипеда
Ka, ? := {x | x = (x1 ... xd) Є Rd , uj < (Xj < xj < ?j < bj}
а также замкнутого параллелипипеда или параллелипипеда с некоторыми присоединенными гранями принадлежат пространству L+ (X).
Ниже мы будем предполагать, что пространство элементарных функций -это множество непрерывных функций на соответствующей области задания, а элементарный интеграл -это интеграл Римана.
f(x)
K x0 Є K
творяет условию lim f (x) = +то , x — x0 и интегрируема по Риману в несобственном смысле. Тогда f Є L+(K).
Для доказательства этого утвержденя достаточно рассмотреть последовательность
fn(x) = тт^ f для которой выполнены условия
lim fn(x) = f(x) , fn(x) dx < f(x) dx < о. n—o
В правой части неравенства (1.32) стоит несобственный интеграл Римана.
Из этого примера следует, что функция f (x) = 1/Vx принадлежит пространству L+([0, 1]). Но функция f (x) = — 1/Vx не принадлежит пространству L+ ([0 , 1]), так как не существует такой непрерывной функ-fn(x) [0 , 1] fn(x) <
-1/Vx. " " "
L+(X)
ство.
20
L+(X)
Определение 1.1.6. Пусть f є L+(X) и функциональная последовательность элементарных функций {fn} С Lo(X) удовлетворяет условию
n.B.f„(x) / f (x). (1.33)
Тогда мы по определению положим
1+(f) == lim 1o(fn). (1.34)
п—оо
В силу условия (1.30) предел в (1.34) всегда существует и конечен. До-
{ fn}
а определяется только функцией f є L+(X).
Лемма 1.1.6. Пусть последовательности элементарных функций, {fn} , {фп} удовлетворяют условиям,:
п.в fn(x) / f (x) ,п.в фп(х) / ф(х), n — то и, п.в. f (x) < ф(х).
Тогда,
lim Io(fn) < lim Io(фп). (1-35)
n—оо n—о
Доказательство. Пределы интегралов в (1.35) всегда существуют (как пределы монотонных числовых последовательностей), но так как в этой лемме мы не предполагаем равномерной ограниченности интегралов в (1.35), эти пределы могут быть равны +то.
Фиксируем m < тон рассмотрим последовательность
hn(x) = fm(x) - min(fm(x) , фп^)).
Эта последовательность удовлетворяет условиям:
п.в. hn(x) \ (fm(x) - min(fm(x) , ф^)) = 0 , n — то.
Поэтому
Vm : Io(hn) = Io(fm) - Io(min(fm , фп)) — 0 , n — то. Следовательно,
Vm: Io(fm) = lim Io(min(fm , фп)) < lim Io(фп),
п—о п—оо
и
lim Io(fm) < lim Io(фп).
m—оо п—оо
Лемма доказана.
21
Из доказанной леммы следует, что предел в (1.34) зависит только от функции f є L+(X) и поэтому определение 1.1.6 корректно.
Lo(X) I+
Io
I+
интегралом Римана.
f(x)
принадлежит пространству L+([0, 1]) и I+ (f) = 0. Напомним, что фун-ция Дирихле не интегрируема по Риману, и из этого примера следут, что L+(X) Lo(X)
Лемма 1.1.7. Справедливы, следующие утверждения.
1. Если а > 0 , ? > 0 и f (x), g(x) є L+(X) то I+(af + ?g) = aI+(f) +
?I+(g).
2. Если f (x) є L+(X) и, п.в. f (x) > 0, mo I+(f) > 0.
f(x) = 0 f(x) є L+(X) I+(f) = 0
Первое утверждение леммы очевидно, а для доказательства второго утверждения заметим, что если п.в. f (x) > 0 и п.в. fn(x) / f (x), то п.в. fn+(x) / f (x). Третье утверждение леммы следует из первого утверждения леммы 1.1.5 и только что доказанного утверждения 2 нашей леммы.
Третье утверждение нашей леммы можно сформулировать и в следующей форме.
Утверждение 1.1.6. Если Z -это множество меры ноль в смысле определения 1.1.1, то характеристическая функция I(Z | x) множе-Z L+(X)
нулю:
(mes(Z) = 0) (I(Z | x) є L+(X) , I+ (I(Z | •) = 0).
I+ L+(X) I+
функционал.
{fn(x)} С L+(X)
Vn : п.в. fn+i(x) > fn(x) и, sup{I+(fn) | 1 < n < то} < то, (1.36) mo
3 (f є L+(X)) : п.в. fn(x) / f (x) u I+(fn) — I+(f) , n — то. (1.37)
22
{ fn( x) }
нотонно не убывает, то почти всюду существует (конечный или бесконечный) предел
f(x) := lim fn(x).
n—o
n
ций {gn,k(x)} , k = 1,..., что
п.в. gn,fc(x) / fn(x), k — то и /0(gn,fc) < /+(fn) < C, (1.39)
n
hk(x) := max{gnk(x) | n < k}. (1-40)
В силу неравенств (1.39) последовательность элементарных функций (1.40) почти всюду монотонно не убывает и ограничена сверху оперделенной
f(x)
