Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача 11. Докажите, что если среди индексов I1, . . ., ifc есть два одинаковых, то форма xfj Д . . . Д х^ равна нулю. Задача 12. Докажите, что формы
Л ... А Чні где 1 < J1 <...<%< п,
линейно независимы.
Число таких форм, очевидно, C^. Мы будем называть их базисными к-формами.
Задача 13. Докажите, что каждая ft-форма в R" однозначно представляется в виде линейной комбинации базисных:
= S аі,...і/і,Л--- A*v
l*Z4<...<ik^n
Указание, а^ = со* (е^, . . ., eik).
Из результата этой задачи следует, что размерность линейного пространства й-форм в R™ равна Cf1. В частности, при к — и, Cn = 1. откуда вытекает
148
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Следствие. Всякая п-форма в Rn есть либо ориентиро-•ванный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема, либо нуль:
со™ = а-х^ Д . . . Д хп.
Задача 14. Доказать, что всякая fc-форма в при k > п равна нулю.
Переходим теперь к умножению й-формы со* на /-форму со'. Пусть вначале даны два одночлена
шк = g)1 Д .. . Д щ, to' = cok+1 Д ... Д cofc+b
где Co1, . . ., cofc+/ — !-формы. Их произведение со* Д со' мы определим как одночлен
<«і Л • • • Л Щ) Л Л • • • Л °>ш) =
= CO1 Д . . . Д coR Д соКт1 Д . . . Д
Задача 15. Докажите, что умножение одночленов ассоциативно:
/ К л '«л m R л / ' Л "Ч
(а Д ш ) Д ш = о Д(й)Д«в )
я косокоммутатявно:,1
ft я ї / . .Hl I я ft
ш Д ш = (— 1) ш Д to .
Указание. Чтобы переставить каждый из I множителей о/ вперед, нужно к инверсий с к множителями иЛ".
Замечание. Полезно запомнить, что косокоммутатпвность означает коммутативность, если хотя бы одна из степеней к, I четная, и антикоммутативность, если обе степени к, I нечетные.
§ 33. Внешнее умножение
Здесь определяется операция внешнего умножения форм и доказывается, что она косокоммутативна, дистрибутивна и ассоциативна.
А. Определение внешнего произведения. Мы определим теперь внешнее умножение произвольной /е-формы со* на произвольную Z-форму со'. Результат со* Д со' будет к -f- Z-формой. Операция умножения окажется:
1) косокоммутативной: со* Д со' = (—1)*' со' Д со*,
2) ДИСТрибуТИВНОЙ; (A1CO1 -f- K2O)I) Л = Wl Л + Ягсо*Д со',
3) ассоциативной: (со* Д со') Д со™ = со* Д (со' Д со"1). Определение. Внешним произведением со* Д со1 к-формы
со* в R™ на l-форму со' в R" называется к -f- Z-форма в Rn, значение которой на к + Z векторах E1, . . ., . . ., ІК+/ є= Rn равно
(СО* Д CO1XS1, ..., Efc+l) = S (_ I)vt0* (Sj1, ..., S,K) со' (|4.....1,-,),
(1)
§ 33. ВНЕШНЕЕ УМНОЖЕНИЕ
149
где I1 < . . . < ik, J1 < . . . < j,; (?, . . ., J1, . . ., J1) — перестановка номеров (1, 2, . . ., к + Z), а
Иными словами, каждое разбиение k -f- I векторов E1, . . . . . ., K? oee группы (из к и из I векторов) дает одно слагаемое є нашей сумме (1). Это слагаемое равно произведению значения k-формы со на к векторах первой группы на значение l-формы со' на I векторах второй группы, со знаком + или — в зависимости от того, как упорядочены векторы в группах. Если они упорядочены так, что написанные подряд к векторов первой группы и I векторов второй образуют четную перестановку векторов in la, • • ч !їм» то берется знак +, а если нечетную — знак —.
Пример. Если k = 2, то разбиений всего два: E1, E2 и
Ii- Поэтому
в согласии с определением умножения 1-форм из § 32.
Задача 1. Доказать, что приведенное выше определение действительно определяет некоторую к + і-форму (т. е. что значение (ак Д со') (I1, . . ., зависит от векторов 1 полилинейно п кососимыетрично).
Б. Свойства внешнего произведения.
Теорема. Определенное выше внешнее умножение форм косо-коммутативно, дистрибутивно и ассоциативно. Для одночленов оно совпадает с умножением, определенным в § 32.
Доказательство косокоммутативности основано на простейших свойствах четных и нечетных перестановок (см. задачу в конце § 32) и предоставляется читателю.
Дистрибутивность следует из того, что каждое слагаемое в (1) линейно относительно со* и со'.
Доказательство ассоциативности требует несколько больше комбинаторики; так как соответствующие рассуждения уже проводились в курсе алгебры при доказательстве теоремы Лапласа о разложении определителя по минорам столбцов, можно воспользоваться этой теоремой *).
*) Прямое доказательство ассоциативности (содержащее также доказательство теоремы Лапласа) состоите проверке согласованности знаков в тождестве
<(«>* Л «') Л <o™)(|i, ..., li+l+m) =
= S ± ш* (Si1- • • •• 5?) w Hj1----' ш™ (Ц« • • •» \J>
где J1 < . . . < ik, J1 < . . . < jt, H1 < . . . < hm; (J1, . . ., hm) — перестановка чисел (1, . . ., к + I -(- т).
1, если эта перестановка нечетна, 0, если эта перестановка четна.
(CO1 Л W2) (E1, E2) = CO1 (E1) CO2 (E2) — со2 (E1) Co1 (|2),
150
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Начнем со следующего замечания: Если ассоциативность доказана для слагаемых, то она верна и для суммы, т. е.
(coi Л щ) Л «з = »'i Л К Л юз)1 ,/',-. *
