Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
. . Влечет (((0! + CO1)AtO2)AtO3 =
(CO1AtO2)AtO3 = IOiA(W2AtO3)J
= («і + Oh)IA (W2AtO3)-Ибо в силу дистрибутивности, которая уже доказана, имеем
((coi + щ) Л to2) A to3 = ((coi Л to2) A to3) + ((сої A to2) Л to3),
(«і + «і) Л (»2 A to3) = (toi Л («г Л to3)) + («і Л (»2 Л «з))-
Но мы уже знаем из § 32 (задача 12), что всякая форма в Rn есть сумма одночленов. Поэтому достаточно доказать ассоциативность умножения одночленов.
Так как пока не доказана эквивалентность определения умножения к 1-форм из § 32 с общим определением (1), мы будем временно обозначать умножение к 1-форм символом /\, так что наши одночлены имеют вид
і С0К = CO1 А • • • Л tofc, СО1 = COr+1 А" • • Atoft+b
где CO1, . . ., щ+1 — !-формы.-
Лемма. Внешнее произведение двух одночленов есть одночлен:
(Co1 Л...7\%) ЛК«Л'- • -Л^+гН _ __ _ _
= CO1А • • • Л «к Л toft-ч А • • • Л to*+;-
Доказательство. Вычислим значения левой и правой частей на к + I векторах I1, . . ., |ft+I. Значение правой части равно определителю det [ со? (|7) [ порядка к + I. Значение левой части по формуле (1) равно сумме произведений
2± det K(I4Jl- det I CO1(IiJ I
миноров первых к столбцов определителя порядка к + I на дополнительные миноры. Теорема Лапласа о разложении по минорам первых к столбцов как раз и утверждает, что эта сумма с тем же правилом выбора знаков, что в определении (1), равна определителю det I со? (|у) I . Лемма доказана.
Из леммы вытекает, что операции А и Л совпадают. Действительно, мы получаем последовательно
«і Л to2 = W1 Л to2, to] Л W2 Л «з = («і А «г) Л to3 = (CO1 A «а) Л to3,
«і Л to2 Л • • • Л tofc = (... ((CO1 Л to2) А «з) Л • • • Л
§ 33. ВНЕШНЕЕ УМНОЖЕНИЕ 151
Из очевидной ассоциативности Д-умножения к 1-форм следует поэтому ассоциативность Д-умножения одночленов. Тем самым, в силу сделанного выше замечания, ассоциативность доказана и в общем случае.
Задача 2. Докажите, что внешний квадрат 1-формы или вообще формы нечетного порядка равен нулю: Д шЛ = 0, если к нечетно.
Пример 1. Рассмотрим в R2Tl систему координат рг, . . ., рп, qlt ...
. . ., дп и 2-форму ш2 = 2 Pi Л Q1-
г—1
[Геометрически эта форма ш2 означает сумму площадей ориентированных проекций параллелограмма на п координатных двумерных плоскостей (Pu ¦ - ¦I (Pni Qn)- В дальнейшем мы увидим, что 2-форма ш2 имеет основное значение для гамильтоновой механики. Можно показать, что всякая невырожденная *) 2-форма в R2" имеет вид ш2 в некоторой системе координат . . ., дп).]
Задача 3. Найти внешний квадрат 2-формы ш2.
Ответ, ш2 Д ш2 = — 2 ^ р. Д р} Д gi Д qy
Задача 4. Найти внешнюю к-ю степень ю2.
Ответ, to2 Д to2 Д . ¦ ¦ Д и2 = ±kl 2 К Л • ¦ -Л P.. AQi1 Л-• -Л%-
--; 4<-<h
В частности,
ш2Д ... Д со2 =± в! P1Д ... Д рп Дд1 Д ... Д gn
п
есть, с точностью до множителя, объем 2п-мерного параллелепипеда в R2n.
Пример 2. Рассмотрим теперь ориентированное евклидово пространство R3. Каждому вектору ieR3 сопоставим 1-форму в^А, полагая
(оА (§) = (А, §) (скалярное произведение),
и 2-форму а>А, полагая
ил (Si. S2) = И. Si. Ss) (смеша ное произведение). Задача 5. Доказать, что отображения Л »-»¦ и 4ь> устанавливают изоморфизмы линейного пространств^ R3 векторов А с линейными пространствами 1-форм в R3 и 2-форм в R3. Если в R3 выбрана ортонорми-рованная, ориентированная система координат (xt, х2, х3), то
а>л = ^1X1 + A2X2 + A3X3, а>А = A1X2 Д х3 + A2X3 Д X1 + A3X1 Д х2.
Замечание. Итак, выписанные изоморфизмы не зависят от выбора ортонормированной и ориентированной системы координат (xlt х%, х3). Но они зависят от выбора евклидовой структуры R3, а изоморфизм A i-* «2^
также и от ориентации (входящей неявно в определение смешанного произведения) .
Задача 6. Доказать, что в силу установленных изоморфизмов внешнее умножение 1-форм превращается в векторное умножение векторов R3, т. е. что
юл Л ав = аІА, В] Для любых А, В є R3. *) Билинейная форма ю2 невырождена, если Vg ф= 0, Зц: ш2 (§, 4) 0.
152
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Таким образом, внешнее умножение форм можно рассматривать как перенос на многомерный случай векторного умножения в R3. Только в многомерном случае произведение не есть вектор того же пространства: пространство 2-форм в R™ изоморфно R™ только при п = 3.
Задача 7. Доказать, что в силу установленных изоморфизмов внешнее умножение 1-формы на 2-форму превращается в скалярное умножение векторов R3:
&л Д щ2в = (А* -В) Л «2 Л ^з-
В. Поведение при отображениях. Пусть /: R"1 -*- R" — линейное отображение, и ш* — внешняя й-форма на R". Тогда на Rm возникает й-форма /*toR, значение которой на к векторах E1, . , ., S1 є R" равно значению о/ на их образах:
Задача 8. Проверить, что — внешняя форма.
Задача 9. Проверить, что /* — линейный оператор из пространства A-форм на Rn в пространство к-форм на Rm (звездочка сверху указывает, что /* действует в сторону, противоположную 1).
