Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
163
Очевидно, дсм есть к — 1-цепь на M *).
Задача 10. Доказать, что граница границы любой цепи равна нулю: ддск = 0.
Указание. Ввиду линейности д достаточно доказать ddD = 0 для выпуклого многогранника D. Остается проверить, что каждая к — 2-мерная грань D входит в цепь ddD дважды с разными знаками. Это достаточно проверить для к = 2 (плоские сечения).
Ж. Интеграл формы по цепи. Пусть теперь tofc есть А-форма на многообразии М, а сч — А-цепь на М, ск = 2тгсгг. Интегралом формы coft по цепи ск называется сумма интегралов по кускам с учетом кратностей
Jj сок' = 2mi S «>*• Задача 11. Докажите, что интеграл линейно зависит от формы:
Задача 12. Докажите, что интегрирование фиксированной формы ю* по цепям ск определяет гомоморфизм группы цепей в прямую.
Пример 1. Пусть Месть плоскость {(р, q)}, форма ю1 есть р dq, цепь C1 состоит из одного куска O1 с кратностью 1:
[О ^ t ^ 2зт] -Д- (р = cos t, q = sin t).
Тогда
Рис. 154. Интеграл P dq = п. формы р dq по гра-
_ нице области равен
c1 площади области
Вообще, если цепь C1 представляет границу области G (рис. 154), то Jp dg
Cl
равен площади G со знаком + или — в зависимости от того, ориентирована ли пара векторов (внешняя нормаль, ориентирующий вектор границы) так же, как базисная пара (орт р, орт q), или наоборот.
Пример 2. Пусть M есть ориентированное трехмерное евклидово пространство R3. Тогда каждая 1-форма в M соответствует некоторому векторному полю А (ш1 = а>1А), где
ыА (D = (А, 1).
Интеграл формы аЛ по цепи C1, представляющей ориентированную кривую I, называется циркуляцией поля А по кривой I:
J(Bj1 = J (А, dl).
*) Мы считаем здесь fc > 1. Одномерные цепи включаются в общую схему, если принять следующие определения: нульмерная цепь состоит из набора
точек с кратностями; граница ориентированного отрезка AB есть В — А (точка В с кратностью 1,Ac кратностью —1); граница точки пуста.
164
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Каждая 2-форма в M также соответствует некоторому полю A (со2 = = із>2л, где (?, T1) - (А, I, г])).
Интеграл формы в>А по цепи сг, представляющей ориентированную поверхность S, называется потоком поля А через поверхность S:
J CO^=Jm, dn). с, S
1
Задача 13. Найти поток поля А = -ру eR через поверхность сферы
а;* + У2 + 2s = 1» ориентированную векторами ех, еу в точке z = 1. Найти поток того же поля через поверхность эллипсоида хУа? + yVfc2 + zs = 1, ориентированную так же.
Указание. См. стр. 171.
Задача 14. Пусть в 2ге-мерном пространстве R2n = {(P1, . . ., рп; 5i> ¦ • ч <7п)} Дана 2-цепь с2, представляющая ориентированную двумерную поверхность S с краем L Найти
5 ^P1 Л d?x "I----+ dPn A^qn и ^ P1 ^g1 H-----fpn
с, I
Ответ. Сумма ориентированных площадей проекций S на координатные двумерные плоскости pi, qi.
§ 36. Внешнее дифференцирование
Здесь определяется внешнее дифференцирование ft-форм п доказывается формула Стокса: интеграл производной формы по цепи равен интегралу самой формы но границе этой цепи.
А. Пример: дивергенция векторного поля. Внешняя производная А-формы со на многообразии M есть k + 1-форма dto на том же многообразии. Переход от формы к ее внешней производной аналогичен образованию дифференциала функции или дивергенции векторного поля. Напомню определение дивергенции.
Пусть А — векторное поле в евклидовом ориентированном трехмерном пространстве R3 и iS" — граница параллелепипеда П с ребрами I1, |2, I3 при вершине х: S = дії (рис. 155). Рассмотрим поток поля А через поверхность S («наружу»):
х еП
Рис. 155.' К определению дивергенции векторного поля
F(U) = \(A, dn).
Если параллелепипед П очень мал, то поток F приблизительно пропорционален произведению объема параллелепипеда, V = — (Si» S2» Sa)» на «плотность источников» в точке х. Иными словами, существует предел
є-И>
е3У
§ 36. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
165
где еП — параллелепипед с ребрами e|lf е§2, е|3. Этот предел не зависит от выбора параллелепипеда П, но лишь от точки х, и называется дивергенцией поля А в х, div А.
Чтобы перейти к многомерному случаю, заметим, что «поток А через элемент поверхности» есть 2-форма, которую мы обозначили сол. Дивергенция же есть плотность в выражении 3-формы
со3 = div A dx Д dy Д dz,
to3 (Ii, I2, I3) = div AV (I1, I2, I3),
характеризующей «источники в элементарном параллелепипеде»» Внешняя производная d(ak А-формы сок на и-мерном многообразии M определяется как главная полилинейная часть интеграла со* по границе к + 1-мерного параллелепипеда.
Б. Определение внешней производной. Определим значение формы dco на к + 1 векторе I1, . . ., |fc+1, касающемся M в sc. Рассмотрим для этого какую-нибудь систему координат в окрестности
Рис. 156. Криволинейный параллелепипед П
точки ас на М, т. е. диффеоморфное отображение / окрестности точки 0 в евклидовом пространстве R" на окрестность точки ж в M (рис. 156).
Прообразы векторов I1, . . ., §к+1 El TMx при дифференциале / лежат в касательном пространстве к R" в 0. Это касательное пространство естественно отождествляется с R", поэтому можно считать прообразы векторами
