Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
¦ •»IiUi) = S da.
П
Окончательно находим
J (0=2^ = »Hm SF, = §Лй.
en
W—ос
Отсюда автоматически следует формула (3) для любой цепи, многогранники которой — параллелепипеды.
Чтобы доказать формулу (3) для любого выпуклого многогранника D, достаточно доказать ее для симплекса *), так как D всегда можно разбить на симплексы (рис. 161):
D = ^1D1, dD = 5J0D,.
Докажем формулу (3) для симплекса. Заметим, что й-мерный ориентированный куб можно дифференцируемо отобразить на й-мер-ный ориентированный симплекс так, что:
Рис. 161. Разбиение выпуклого многогранника на симплексы
*) Двумерный симплекс есть треугольник, трехмерный — тетраэдр, A-мерный — выпуклая оболочка к + 1 точки в R71, не лежащей в к — 1-мерной плоскости.
H
Пример. {же R : х. > 0, xi < l} .
§ 36. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
169
1) внутренность куба диффеоморфно и с сохранением ориентации переходит во внутренность симплекса;
2) внутренности некоторых к — 1-мерных граней куба диффеоморфно и с сохранением ориентации переходят во внутренности граней симплекса; образы остальных к — 1-мерных граней куба лежат в к — 2-мерных гранях симплекса.
Например, для к — 2 такое отображение куба 0 <^ X1, х2 <^ 1 на треугольник дается формулами Ij1 = X1, у2 = X1X2 (рис. 162). Теперь формула (3) для симплекса вытекает из доказанной формулы (З)для куба и теоремы о замене переменной (см. стр. 160).
Пример 1. ординатами рг.
Рассмотрим в R2" с ко-
;Рп, Qn !"Форму
(0і
P1Uq1 + . . . + pndqn = р dq.
Тогда day1 = dp1 Д dqx + = dp Д dq, поэтому
+ dpn/\dqn-.
^dp/\dq =1 pdq.
C1 де,
Рис. 162. Доказательство формулы Стоке» для симплекса
В частности, если C2 — замкнутая поверхность (дс2 = 0), то-Hdp/\dg = 0.
Д. Пример 2. Векторный анализ. В трехмерном ориентированном римановом пространстве M всякому векторному полю А соответствует 1-форма сод и 2-форма со2*. Поэтому внешнее дифференцирование можно рассматривать как векторную операцию.
Внешнему дифференцированию 0-форм (функций), 1-форм м 2-форм отвечают операции градиента, ротора и дивергенции, определенные соотношениями
df = <4rad /> d<?>A = (uiot л, d<?>A = div JL(O3
(форма (о3 — элемент объема на M). Итак, из (3) вытекает
/ (У) — / (х) = § ёга^ f • если ді = у — х, і
§ A dl rot А ' dn, если dS = I,
і s
A dn div Лоз3, если 6D = S. s D
З а д а ч а 6. Докажите, что
div [А, В] = (rot А, В) — (rot В, А), rot aA = [grad a, A] + a rot А, div aA = (grad a, A) -\- a div A.
170
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Указание. По формуле дифференцирования произведения форм
d (ш[л, bj) = d (шл Л <4) = <к>А Л — »лЛ Задача 7. Докажите, что rot grad = div rot = 0. Указание, dd = 0.
Е. Добавление 1. Векторные операции в< триортогональной системе. Пусть X1, х2, х3 — триортогональная система координат в Af1 ds% = E1UxX + E2dxl + E3UxX и et — координатные орты (см. стр. 156).
Задача 8. Зная компоненты векторного поля А = A^e1 + А2е2 +• -+• А3е3, найти компоненты его ротора. Решение. Согласно стр. 157,
ал = Ail/lUjdxi + A2V E2dx2 + A3]fE3dx3.
Поэтому
лі (ОАшУЪ дА2уЖ2 \ По стр. 157 находим
"rot A-
. . - . SA3Ve3 6A2Ve1)
ш=^и---J^+-=
VExE2E3
VEiei V^e2 VE3e3
д д д
дх\ дх2 дх3
A1VEi A2Ve2 A3Ve3
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах в R3: tA (9 А, дАу\ (дАх дА\ (дАу в А \
1 (дАг *\\ , ( дАг дАг ) 1 (вгАу вА\
= г V дф dz )€г+{ dz дг J ея>г \ дг д<р ) ег =
1 (t>Ae g^cosBN ~~ it cos Є { Зф 56 JeR +
і / dAR dRAe \ 1 (ORA41__1 dAR \
+ R \ 6>6 dR J e<f> R \ OR cos в Зф У ee-
Задача 9. Найти дивергенцию поля A = A1C1 + А2е2 + ^43е3. Решение. &А — A1VE2E3 dx2 Д dx3 + . . . Следовательно,
д г_
ekaA = -g^-(A1y E2E3) dxi Д dx2 Д dx3 + ...
По определению дивергенции,
dco^t = div AVE1E2E3 dx1 Д (2? Д dzs.
Значит,
§ 36. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 174
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах в TPt
dlv А = ST + ST + ~дГ = ~ [—0?— + "лГ J + ~дГ =
1 / 3A2cos вЛй дЯ4ф di?cos64e Л = Л2 cos в V '"dtp ёв J *
Задача 10. Оператором Лапласа на M называется оператор Д =» = div grad. Найти его выражение в координатах хі.
0meem- л/= ущ% [V 1LT-Ht)+•¦•]•
В частности, в R3
__Pf S?f 04 04 . 1 0/ . 1 g2/ . а*/
Л/ - &к2 + Oy2 0Z2 Or2 г Зг + г2 дер2 "г* dz2 "
1 [ д [ ^ Sf \ ,0 I \ 0f \ , 0 I ^0f\l
=-в^ьш L ж Iй2 cos 9 -ж)+w -Щ-)+ж icos еж ] J •
Ж. Добавление 2. Замкнутые формы и циклы. Поток несжимаемой жидкости (без источников) через край области D равен нулю. Сформулируем многомерный аналог этого очевидного предложения.
Многомерный аналог потока без источников называется замкнутой формой.
Поле А не имеет источников, если div A = O.
