Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
рует форму „а m (I11 . . м |к.) = ш (/^ . . м foj
лри любых касательных векторах I1, . . ., |ft ЄЕ TAIx. Здесь есть дифференциал отображения /.
Иными словами, значение формы /*со на векторах I1, . . ., §fc равно значению формы со на образах этих векторов.
Пример. Если у = / (хх, X2) = X1 + х\ и ш = dy, то
/*ш = 2,X1Ax1 + 2x2dx2.
Задача 3. Докажите, что f*(a есть fc-форма на М. Задача 4. Докажите, что отображение f* сохраняет операции над ¦формами:
/* (K1(U1 + X2W2) = kj* (W1) + X2/* (ш2),
Г («і Л »2) = (/*%) Л (P«*).
Задача 5. Пусть g : L —» M — дифференцируемое отображение. Докажите, что (fg)* = g*f*.
Задача 6. Пусть D1 и D2 — два компактных выпуклых многогранника в ориентированном Л-мерном пространстве R* и f : D1—* D2 — дифференцируемое отображение, осуществляющее диффеоморфное *), сохраняющее •ориентацию отображение внутренности D1 на внутренность D2. Тогда для .любой дифференциальной А-формы в D2
D1 D2
Указание. Это — теорема о замене переменной в кратном ннте-трале:
f д(уг----,^n) і»
J д(х ,...,X ) (у W) dXl' • • dxn = J *Р Ы "dVn'
Dx v"" п 4
Г. Интегрирование /t-формы на и-мерном многообразии. Пусть •со — дифференциальная fc-форма на к-мерном многообразии М.
*) То есть взаимно-однозначное и взаимно-дифференцируемое.
§ 35. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 161
Рис. 150. Сингулярный fc-мерный полиэдр
Пусть D — ограниченный выпуклый /с-мерный многогранник в /с-мерном евклидовом пространстве Rfc (рис. 150).
Роль «пути интегрирования» будет играть А-мерный кусок *) ст в M, представляющий собой тройку ст = (D, f% Op), состоящую из
1) выпуклого многогранника D CZ Rfc»
2) дифференцируемого отображения
/ : D -» М,
3) ориентации Rfc, обозначаемой Op.
Определение. Интегралом /с-формы со по /с-мерному куску о называется интеграл соответствующей формы по многограннику
о D
Задача 7. Докажите, что интеграл зависит от формы линейно:
^ ^1(Bl + X2U),; = Xl ^ COi + X2 ^ <Й2-
а а а
й-мерный кусок, отличающийся от ст лишь выбором ориентации Op, называется противоположным ст и обозначается—ст или—1-ст (рис 151).
Задача 8. Докажите, что при изменении / & \ /-б ориентации интеграл меняет знак:
S-S'
Рис. 151. K задаче 8
Д. Цепи. Множество / (D) не обязательно является гладким подмногообразием М. Оно может иметь «самопересечения», любые «складки» и вырождаться даже в точку. Однако уже в одномерном случае ясно, что неудобно ограничиваться контурами интегрирования, состоящими из одного куска: полезны также контуры, составленные из нескольких кусков, которые могут проходиться в ту или иную сторону по нескольку раз. Аналогичное понятие в многомерном случае называется цепью.
Определение. Цепь размерности к на многообразии M состоит из конечного набора fc-мерных ориентированных кусков Ct1, . . ., стг в Ми целых чисел шх, . . ., тг, называемых кратностями (кратности могут быть положительными, отрицательными или нулями). Цепь обозначается
сч - ' To1Ct1 + . . . + тгаг.
*) Кусок о называют обычно сингулярным k-мерным полиэдром.
162
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
При этом вводятся естественные отождествления
TTl1O -f- TTl2O = (TTl1 + TTl2) о,
TTi1O1 + т2а2 = TW2O2 + Tn1O1, Oa = 0, сь + О = cft.
Задача 9. Докажите, что множество всех А-мерных цепей в многообразии M становится коммутативной группой, если определить сложение цепей формулой
(TO1O1 -1-----1- mrcr) + (Tn1C1 +----h m'r,cr,) =
= To1oi H----+ mr°V+ Tn1Q1 -f. ... + m'r,a'r,.
Е. Пример: граница многогранника. Пусть D — ориентированный, выпуклый /с-мерный многогранник в /с-мерном евклидовом пространстве RA Границей D называется к — 1-мерная цепь dD в Rfc, определенная следующим образом (рис. 152).
Кусками о,- цепи dD являются к — 1-мерные грани D1 многогранника D вместе с отображениями ft: D1-+ R* вложения граней в Rft и ориентациями Op,-, определенными ниже; кратности же равны 1:
OD = O1 = (D1, /„ OpO-
Правило ориентации граней. Пусть ел, . . . . . ., efc — ориентирующий репер Rfc. Пусть D1 — одна из граней D. Выберем внутреннюю точку D1 и построим в ней вектор п
Рис. 152. Ориентация границы Рис. 153. Граница цепи
внешней нормали к многограннику D. Ориентирующим грань D1 репером будет такой репер /15 . . ., /V1, в D1, для которого репер (п, /17 . . ., /Vi) ориентирован правильно (т. е. как репер elt . . . . . ., efc).
Граница цепи определяется аналогичным образом. Пусть о = = (D, /, Op) — /с-мерный кусок в многообразии М. Его границей
до называется к — 1-цепь до = составленная из кусков
а,- = (Dt, fi, Opi), где D1 — к — 1 мерные грани D, Орг — ориентации, выбранные согласно приведенному выше правилу, /г — ограничение отображения /: D M на грань D1.
Границей дсч /с-мерной цепи ск в M называется сумма границ кусков цепи Cjf с кратностями (рис. 153):
дсч = д (/W1CT1 4---.4" "V0V) = Wi1Oo1 4--..4- тгдоТ.
§ 35. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
