Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача 10. Пусть /: Rm —* R", g: R™ —¦ Rp. Проверить, что (Є о J)* = /* с g*.
Задача 11. Проверить, что /* сохраняет внешнее умножение:
/* (<ок Д ы1) = (/*шк) Д (/*сог).
§ 34. Дифференциальные формы
Здесь дано определение дифференциальной формы иа дифференцируемом многообразии.
А. Дифференциальные 1-формы. Простейшим примером дифференциальной формы является дифференциал функции.
Пример. Рассмотрим функцию у = / (х) = х~. Ее дифференциал df = 2х йх зависит от точки х и от «приращения аргумента», т. е. от касательного вектора I к оси х. Зафиксируем точку х. Тогда дифференциал функции в точке .г, df \х, зависит ст % линейно. Так, если X = 1 и координата касательного вектора I равна 1, то dr = 2, а если координата | равна 10, то X ' ¦-¦-*~- df = 20 (рис. 140).
Y
X
Рис. 140. Дифференциал функции
Рис. 141. К задаче 1
Пусть /: M-*- R—дифференцируемая функция, заданная на многообразии M (можно представлять себе «функцию многих переменных» /: R*1 -*¦ R). Дифференциал df \х функции / в точке X есть линейное отображение
dfx: TMx
R
касательного пространства к M в точке х в вещественную прямую. Напомню определение этого отображения.
§ 34. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
153
Пусть | Ez TMx — вектор скорости кривой X (t): R—r М, ж (0) = х,х (0) = !j. Тогда, по определению,
Задача 1. Пусть | — вектор скорости плоской кривой х (t) = = cos t, у (t) = sin f при < = 0. Вычислить значения дифференциалов dx, <dy функций х, у на векторе | (рис. 141).
Ответ, dx |1>0 (i) = 0. dy |1>0 (|) = 1.
Заметим, что дифференциал функции / в точке х E- M есть 1-форма d/^ на касательном пространстве TMx.
Дифференциал df функции / на многообразии M есть гладкое отображение касательного расслоения TM в прямую
df: TM -> R (TM = U 71Mx).
а:
Это отображение линейно на каждом касательном пространстве TMx CZ TM и дифференцируемо.
Определение. Дифференциальной формой степени 1 {или 1-формой) на многообразии M называется гладкое отображение
со: TM -^R
касательного расслоения многообразия M в прямую, линейное на каждом касательном пространстве TMx.
Можно сказать, что дифференциальная i-форма на M есть алгебраическая 1-форма на TMx, «дифференцируемая по у».
Задача 2. Докажите, что всякая дифференциальная 1-форма на прямой является дифференциалом некоторой функции.
Задача 3. На окружности и на плоскости найти дифференциальные !-формы, не являющиеся дифференциалами никаких функций.
Б. Общий вид дифференциальных 1-форм в R". Рассмотрим в качестве многообразия M линейное пространство с координатами X1, . . ., хп. Напомню, что компонентами I1. . .., In касательного вектора I E= TR^ называются значения дифференциалов координат dxt, . . ., dxn на векторе |. Эти п 1-форм на TRx линейно независимы. Итак, 1-формы dxt, . . ., dxn образуют базис в n-мерном пространстве 1-форм на TRx.
Следовательно, всякая 1-форма в TRx однозначно записывается в виде CZ1CUr1 -f- . . . + andxn, где at — вещественные коэффициенты. Пусть теперь со — произвольная дифференциальная 1-форма в Rn. В каждой точке х она однозначно разлагается по базису dxt, . . ., dxn. Отсюда вытекает
Теорема. Всякая дифференциальная 1-форма в пространстве Rn с выбранной системой координат X1,..., хп однозначно
154
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
записывается в виде
со = % (х) Ux1 + . . . + On (х) dxn,
где коэффициенты at (х) — гладкие функции.
Задача 4. Вычислить значения форм O1 = «2?, Co2 = xtdx2, со3 = = dr2 (г2 = х\ + х*) на BeKTOPaXl1, |2, |3 (рис. 142).
Ответ.
*г
О 1 2 3 X1 Рис. 142. К задаче 4
Il
І2
Is
CO1
о
—1
1
CO2
О
—2
—2
CO3
О
—8
О
Задача 5. Пусть X1,..., хп — функции на многообразии М, образующие локальную координатную систему в некоторой области. Докажите, что каждая 1-форма в этой области однозначно записывается в виде со = o1 (х) dxx + ¦ • ¦ + In (х) dxn.
В. Дифференциальные fc-формы.
Определение. Дифференциальной fc-формой со* \ж в точке х многообразия M называется внешняя k-форма на касательном пространстве TMx к M х, т. е. k-линейная кососимметричная функция от к векторов I1, . . ., касательных к M в ж.
Если такая форма со* \х задана в каждой точке ж многообразия M и если она дифференцируема, то говорят, что дана к-форма со* на многообразии М.
Задача 6. Ввести естественную структуру дифференцируемого многообразия в множество, элемент которого — набор к векторов, касающихся M в какой-нибудь точке ж.
Дифференциальная й-форма есть гладкое отображение полученного многообразия в прямую.
Можно сказать, что к-форма на M есть внешняя к-форма на TMx, «зависящая дифференцируемым образом от ас».
Сложение, умножение на число и внешнее умножение форм на M определяются поточечно: в каждой точке ж ЕЕ M надо сложить, умножить на число или внешне перемножить соответствующие алгебраические внешние формы на касательном пространстве TMx.
Задача 7. Докажите, что все fc-формы на M образуют линейное пространство (бесконечной размерности, если к не превосходит размерности M).
