Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 39. АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 185
Рис. 170. К- показатель- Рис. 171. Криволинейный четырех-
стпу коммутативности угольник I убеа
потоков
Так, например, сторонам (0 < t < tв, s = 0) и (t = tB, 0 < s ^ s0) отвечает произведение BS'A<0, а сторонам (t = 0, 0 ^ s ^ sB) и (s = s0, 0 < t < ^ ?„) — произведение /4'0B8".
Кроме того, мы сопоставим каждому такому пути на плоскости (t, s) путь на многообразии М, выходящий из точки х, составленный из траекторий потоков А* и В$ (рис. 171). Если пути на плоскости (t, s) соответствует преобразование A^B*1 . . . А пВ п, то на многообразии M соответствующий путь
f t S
заканчивается в точке A 1B 1 . . . А пВ пх.
Наша цель — доказать, что все эти пути в действительности заканчиваются в одной точке А1°В8,,х = В"°А1°х.
Разобьем отрезки (0 < t <sj t0) и (0 ^ s ^ s0) на N равных частей так, что весь прямоугольник разделится на TV2 маленьких прямоугольников. Переход от сторон (0, 0) — (0, t0) — (s0, ід) к сторонам (0, 0) — (s„, 0) — (s0, *о) можно совершить в TV4 шагов, в каждом из которых пара соседних сторон маленького прямоугольника заменяется другой парой (рис. 172).
На многообразии M этому маленькому прямоугольнику соответствует, вообще говоря, незамкнутый криволинейный четырехугольник Ру8ЕС6 (рис. 171). Рассмотрим расстояние *) между его вершинами а, ?, соответствую-
) В какой-нибудь римановой метрике М.
Доказательство. Если AlBs = B8A1, то по лемме 1 [А, В] = 0. Если [A, B] = 0, то по лемме 1 для любой функции <р в любой точке X
Ф (AlBsx) — ф (B3A1X) = о (s2 + F), S-+ о, f->0.
Мы покажем, что отсюда вытекает ф (A1B^x) = ф (?M'x) при достаточно малых s и f.
Применяя это соотношение к локальным координатам (ф = z1, . . . . . ., Ф = хп), получим AlBs = BSA{.
Рассмотрим прямоугольник 0 < t ^ tB, 0 ^ s < sB (рис. 170) на плоскости (t, s). Каждому пути, ведущему из (0, 0) в (tB, s0) и состоящему из конечного числа отрезков координатных направлений, сопоставим произведение преобразований потоков А* и Bs. Каждому отрезку <sj t ^ t2 сопоставим А**'*1, отрезку A1 ^ s S2 —
186
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
ятями наибольшим значениям / и *. Как мы видели выше (стр. 185), р (а, ?)
C1N'3 (где постоянная C1 > 0 не зависит от N). Используя теорему дифференцируемое™ решений дифференциальных уравнений по начальным данным, отсюда нетрудно вывести оценку расстояния между концами а', ?'путей xov??' и xbsaa' на многообразии М: N=2 P (a'» ? ) < C2N~S, где постоянная C2 > О снова не зависит от N. Но весь переход от Вв"А*"х к А*'В"°х мы разбили на N2 таких шагов. Итак, р (А*'В*°х, Вэ>А*°х) < N2C2N-3VN. Следовательно, А1°В8'х = В%А1"х.
Рис. 172. пере- Е- Добавление. Алгебра Ли группы Ли. Груп-ходот одной па- пой Ли называется группа G, являющаяся диф-ры сторонок дру- фЄрЄнцируЄМЬШ многообразием, причем операции (умножение и обращение) — дифференцируемые ¦отображения G X G-*- G, G-*- G.
Касательное пространство к группе Ли G в единице TGe имеет естественную структуру алгебры Ли; она определяется следующим образом.
Каждому касательному вектору А С TGe отвечает однопара-
метрическая подгруппа A '(Z G с вектором скорости А = -=т А1-
Степень некоммутативности двух подгрупп А1, В" измеряется произведением А'В8А-*В~е. Оказывается, существует одна-един-ственная подгруппа С, для которой
р (А'В'А-'В-*, Cst) = о (s2 + *2) при5, t -*¦ 0.
Соответствующий вектор С : = -у— I Сг называется коммутатором
dr \г=о
Ли С = [А, В] векторов А и В.
Можно проверить, что введенная таким образом в касательное пространство TGe операция коммутирования превращает его в алгебру Ли (т. е. операция билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби). Эта алгебра называется алгеброй Ли группы Ли G.
Задача. Вычислить операцию коммутирования в алгебре Ли группы J30(3) вращений трехмерного евклидова пространства.
Лемма 1 показывает, что скобку Пуассона векторных полей можно определить как коммутатор Ли для «бесконечномерной группы Ли» всех диффеоморфизмов многообразия *) М.
С другой стороны, коммутатор Ли можно определять с помощью скобок Пуассона векторных полей на группе Ли G.
Пусть geG. Правым сдвигом Re называется отображение Rg: G -*- G, Rgh = hg. Дифференциал Rg в точке g отображает TGe в TGg. Таким образом, каждому вектору А ЄЕ TGe соответствует целое векторное поле на группе: оно составлено из всех правых
*) Знак в определении скобки Пуассона векторных полей выбран исходя из этого соображения.
§ 40. АЛГЕБРА ЛИ ФУНКЦИЙ ГАМИЛЬТОНА
187
сдвигов (Re)^.A и называется правоинвариантным полем. Очевидно, правоинвариантное поле на группе однозначно определяется своим значением в единице.
Задача. Докажите, что скобка Пуассона правоинвариантных векторных полей на группе Ли G есть правоинвариантное поле, и значение его в единице группы равно коммутатору Ли значений исходных полей в единице.
§ 40. Алгебра Ли функции Гамильтона
Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли: операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона.
