Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
S 38. ГАМИЛЬТОНОВЫ ФАЗОВЫЕ ПОТОКИ
177
З а д а ч а. Покажите, что преобразование Лежандра не зависят от системы координат: оно сопоставляет функции L : TV —» R на касательном, расслоении функцию H : Т* V —» R на кокасательном.
В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм.
Определение. Сопоставим вектору |, касательному к симплектическому многообразию (M2", со8) в точке ас, 1-форму со| на TMx по формуле
4(їі) = »2(ті,1)уї]Є2,Мж.
Задача. Доказать, 4toJ соответствие 1і-»- ю| есть изоморфизм линейных 2п-мерных пространств векторов и 1-форм.
Пример. В Rsn = {(р, q)\ будем отождествлять векторы и 1-формы в соответствии с евклидовой структурой (х, оо) = р2 + q2. Тогда соответствие I ю| задает преобразование R*ra -* R2™.
Задача. Вычислить матрицу этого преобразования в базисе р, q >
/ 0 Е\ Ответ. I _ „ I . \-Е Oj
Мы будем обозначать через I построенный выше изоморфизм I : Т*МХ -> TMx.
Пусть теперь H — функция на симплектической многообразии M2". Тогда dH есть дифференциальная 1-форма на М, и ей» соответствует в каждой точке некоторый касательный к M вектор. Мы получаем таким образом на M векторное поле / dH.
Определение. Векторное поле I dH называется гамилъ-пгоновым векторным полем, H — функцией Гамильтона.
Пример. Если Ж2П = R2n = {(р, q)}, то мы получаем поле фазовой, скорости канонических уравнений Гамильтона
дН дН
X=IdH(X)^p = — -^-, q = -0^.
§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты
Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый поток сохраняет объемы. Пуанкаре нашел целый ряд дифференциальных форм, сохраняемых гамиль-тоновым фазовым потоком.
А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (M2™, со2) — симплектическое многообразие» H : M2" -*- R — функция. Предположим, что соответствующее H гамильтоново векторное поле I dH задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов g* : M2™ -*¦ M2",
4L*1*-1Ш (эс)-
178
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Группа g* называется гамилътоновым фазовым потоком с ункцией Гамильтона Н.
Теорема. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплек-тическую структуру:
В случае п = 1, M2™ = R2 эта теорема означает, что фазовый поток g1 сохраняет площади (теорема Лиувилля).
Для доказательства теоремы полезно ввести следующие обозначения (рис. 167).
Пусть M — произвольное многообразие, с — й-цепь в M1 g1 : M —>- M — однопараметрическое семейство дифференцируемых отображений. Построим к + 1-цепь Jc в M1 назы-. ваемую следом цепи с при гомотопии g1, 0 <^ t <^ т.
Пусть (D1 /, Op) — один из кусков цепи с. В цепи Jc к-2 к"1 ему будет соответствовать
Рис. 167. След цепи при гомотопии КУСОК (D , / , Op ), ГДЄ
U = J X D — прямое произведение отрезка 0 <; t ^ т на D1 отображение /' : D' —>-
M выражается через / : D -*¦ M по формуле /' (t, х) = — g'f (x)i и ориентация Op' пространства Rfc+1, содержащего D'ш задается репером е0, ег, . . ., ек, где е0 — орт оси г, а е1У . .. . . ., в|с — ориентирующий репер D.
Можно сказать,! что Jc — это цепь, которую с заметает при гомотопии g{, О <; t <^ т. Граница цепи Jc из «торцов», образованных начальным и конечным положениями с, и «боковой поверхности», заметенной границей с.
Легко проверить, что при указанном выборе ориентации
д (Jck) = gxck — ск — Jdck. (1)
Лемма. Пусть у — 1-цепъ в симплектическом многообразии (М2п, со2). Пусть g' — фазовый поток на M с функцией Гамильтона Н. Тогда
Jy gtv
Доказател ьство. Достаточно рассмотреть цепь у из одного куска / : [О, 1] -*¦ М. Введем обозначения
/'(s, t) = g*1 (s), 1 = df'/ds, rj = df'ldt €Е TMf (s, о-
По определению интеграла
1 X
J со2 = 55 со2 (|,T))Ads. Jv OO
§ 38. ГАМИЛЬТОНОВЫ ФАЗОВЫЕ ПОТОКИ
17»
Но по определению фазового потока TJ есть вектор гамильтонова поля с функцией Гамильтона H (в точке /' (s, ?)). По определению* гамильтонова поля со2 (и, ?) = dH (%). Итак,
Лемма доказана.
Следствие. Если цепь у замкнута (ду = 0), то § со2 = О*.
Действительно, J dH = J H = 0.
Доказательство теоремы. Рассмотрим любую» 2-цепь с. Имеем
jc ojc gtc С joc g%c с
(1 — ввиду замкнутости со2, 2 — формула Стокса, 3 — формула (1), 4 — предыдущее следствие, у = дс). Итак, интегралы формы' со2 по любой цепи с и по ее образу g*c одинаковы, что и требовалось доказать.
Задача. Всякая ли однопараметрическая группа диффеоморфизмов Ж2", сохраняющих симплектическую структуру, является гамильтоновым-фазовым потоком?
Указание. См. § 40.
Б. Интегральные инварианты. Пусть g: M M — дифференцируемое отображение.
Определение. Дифференциальная й-форма со называется интегральным инвариантом отображения g, если интегралы со. по любой А-мерной цепи с и по ее образу при отображении g одинаковы:
gc с
Пример. Если M = R2, а юа = dp Д dq — элемент площади, то ю2" является интегральным инвариантом всякого отображения g с якобианом 1.
