Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
А. Скобка Пуассона двух функций. Пусть (M2", со2) — сим-плектическое многообразие. Функции H : M2™ —*- R, заданной на симплектическом многообразии, соответствует однопарамет-рическая группа gH: M2*1 -»- M2" канонических преобразований Af2" — фазовый поток, функция Гамильтона которого равна Н.
Пусть F: М2П -*¦ R — другая функция на многообразии Мгп.
Определение. Скобкой Пуассона (F, H) функций F и Ht заданных на симплектическом многообразии (M2", со2), называется производная функции F по направлению фазового потока с функцией Гамильтона Н:
(F7H)(X) = -дрЦ Р(ён (X)).
Таким образом, скобка Пуассона двух функций на M есть снова функция на М.
Следствие 1. Функция F тогда и только тогда является первым интегралом фазового потока с функцией Гамильтона Н, когда ее скобка Пуассона с H равна тождественно нулю: (F, H) == 0.
Мы можем дать определению скобки Пуассона несколько иную форму, если воспользуемся изоморфизмом / между J-формами и векторными полями на симплектическом многообразии (M2*1, со2). Этот изоморфизм определен соотношением (см. § 37)
СО2 (TJ, /со1) = СО1 (Tj).
Вектор скорости фазового потока gH есть / dH. Отсюда вытекает Следствие 2. Скобка Пуассона функций FuH равна значению 1-формы dF на векторе I dH скорости фазового потока с функцией Гамильтона Н:
(F, H) = dF(I dH).
Пользуясь предыдущей формулой еще раз, получаем Следствие 3. Скобка Пуассона функций FuH равна «кососк алярному произведению» векторов скоростей фазовых
188
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
потоков с функциями Гамильтона HuF: (F, H)= a2 (I dH, I dF). Теперь становится очевидным
Следствие 4. Скобка Пуассона функций FuH является кососимметрической билинейной функцией от F и Н:
(F, H) = - (Н, F), (H1 X1F1 + = К (H1 F1) + К (H)
(Ъ Ez R).
Сколь ни очевидны предыдущие рассуждения, они приводят к нетривиальным выводам, в том числе к следующему обобщению теоремы Э. Нётер.
Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симп-лектическом многообразии (Af2", со2), выдерживает однопарамет-рическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н.
Действительно, по условию H есть первый интеграл потока
gr- Значит, (H1 F) = 0 (следствие 1). Поэтому (F, H) = О (следствие 4) и F — первый интеграл (следствие 1), ч.т.д.
Задача 1. Вычислить скобку Пуассона двух функций F, H в координатном каноническом пространстве R2n = {(р, q)}, ю2 (|, tj) = [|, Tj] = = dl, т|).
Решение. Согласно следствию 3 имеем
(F, H) = [/ dH, I dF] = [grad Н, grad F] = ^
дН dF дН dF
dp. dqt dq. dp.
-l
/О — Е\
(мы пользуемся симплектичностью / и тем, что / имеет вид I О ) В
зисе (р, q)).
Задача 2. Вычислить скобки Пуассона базисных функций pj, д$. Решение. Градиенты базисных функций образуют «симплектическивг базис»: их кососкалярные произведения суть
(Pi, Pj) = (Pi, Qj) = (li, Qj) = 0, (qi, Pi) = — (pi, qi) ~ і-
Задача 3. Докажите, что отображение A: R2™ —» R2n, (р, q) i->-i->- (JP (р, q), Q (р, q)) каноническое тогда и только тогда, когда скобки Пуассона любых двух функций по переменным (р, q) и (Р, Q) совпадают:
дН dF дН dF dH dF dH dF (F, в)р, Q = др dq ~ dq dp = dP dQ ~~ dQ ~ЇЇР = ЯЬ>, «•
Решение. Пусть А — каноническое. Тогда симплектические структуры dp f\dq и dP Д dQ совпадают. Но определение скобки Пуассона (F, H) инвариантно связано с симплектической структурой, а не с координатами. Поэтому
(F,H)PtQ=(F,H) = (F,H)PtQ.
Обратно, пусть скобки Пуассона (Pi, Ог)Рг q имеют стандартный вид задачи 2. Тогда, очевидно, dP Д dQ — dp Д dq, т. е. отображение А — каноническое.
§ 40. АЛГЕБРА ЛИ ФУНКЦИЙ ГАМИЛЬТОНА
189і
Задача 4. Докажите, что скобка Пуассона произведения вычисляется по правилу Лейбница:
{F1F2, H) = F1 (F2, H) + F2 (F1, Н).
Указание. Скобка Пуассона (F1F2, H) есть производная произведения F1F2 по направлению поля IdH.
Б. Тоясдество Якоби.
Теорема. Скобки Пуассона трех функций А, В, С удовлетворяют тождеству Якоби:
((А, В), С) + ((В, С), А) + ((С, А), В) = 0.
Следствие. Теорема Пуассона. Скобка Пуассона двух первых интегралов (F1, F2) системы с функцией Гамильтона H есть снова первый интеграл.
Доказательство следствия. По тождеству Якоби
((F1, F2), H) = (F1, (F2, H)) + (F2, (H, F1)) = 0 + 0,
что и требовалось доказать.
Таким образом, зная два первых интеграла, можно простой выкладкой получить третий, четвертый и т. д. Конечно, не все получающиеся интегралы будут существенно новыми, так как всего независимых функций на М2п не более In. Иногда может получиться функция от старых интегралов, или константа, например нуль. Но иногда получается и новый интеграл.
Задача 5. Сосчитать скобки Пуассона компонент P1, р2, ps, M1, М2г M3 векторов импульса и кинетического момента механической системы.
Ответ. (M1, M2) = M8, (M1, P1) = 0, (M1, р2) = р8, (M1, р8) = —р2. Отсюда вытекает
Теорема. Если в некоторой механической задаче сохраняются две компоненты кинетического момента, M1 и M2, то сохраняется и третья.
