Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство тождества Якоби. Рассмотрим сумму
((А, В), С) + ((В, С), А) + ((С, А), В).
Эта сумма есть «линейная комбинация вторых частных производных» функций. Сосчитаем члены, содержащие вторые производные А:
((А, В), С) + ((С, А), В) = (LcLb - LbLq)A,
где Lg — дифференцирование по направлению a F — гамиль-тоново поле с функцией Гамильтона F.
Но по лемме 2 § 39 коммутатор дифференцирований LcLB — — LbLc есть дифференциальный оператор первого порядка. Значит, никаких вторых производных А наша сумма не содержит. То же относится ко вторым производным В ж С. Следовательно, сумма равна нулю, ч.т.д.
С-л едствие 5. Пусть В, С — гамильтоноеые поля с функциями Гамильтона В, С. Рассмотрим скобку Пуассона векторных
190
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
толей [В, CJ. Это векторное поле гамильтоново, и его функция Гамильтона равна скобке Пуассона функций Гамильтона (B1 С).
Доказательство. Положим (В, С) = D. Тождество Якоби можно переписать в виде
(A, D) = ((А, В), С) - ((А, С), В),
Ld = LcLb — LbLc, Ld = L^b, с]>
что и требовалось доказать.
В. Алгебры Ли гамильтоновых полей, функций Гамильтона и первых интегралов. Линейное подпространство алгебры Ли называется подалгеброй, если коммутатор двух любых элементов подпространства ему принадлежит. Подалгебра алгебры Ли сама является алгеброй Ли. Предыдущее следствие содержит, в частности,
Следствие 6. Гамилътоновы векторные поля на симплек-тическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей.
Теорема Пуассона о первых интегралах может быть переформулирована так:
Следствие 7. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли всех функций.
Алгебру Ли функций Гамильтона можно естественно отобразить на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей. Для этого каждой функции H сопоставим гамильтоново векторное поле И с функцией Гамильтона Н.
Следствие 8. Отображение алгебры Ли функций на ¦алгебру Ли гамильтоновых полей является гомоморфизмом алгебр. Его ядро состоит из локально постоянных функций. Если Min ¦связно, то ядро одномерно и состоит из постоянных.
Наше отображение линейно. Следствие 5 утверждает, что наше отображение переводит скобку Пуассона функций в скобку Пуассона векторных полей. Ядро состоит из функций Н, для которых / dH = 0. Поскольку / — изоморфизм, dH —0,H = = const, ч.т.д.
Следствие 9. Для того чтобы фазовые потоки с функциями Гамильтона H1 и H2 коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы скобка Пуассона функций H1 и H2 была (локально) постоянной.
По теореме пункта Д § 39 необходимо и достаточно, чтобы IH1, H2] = 0, а по следствию 8 последнее условие эквивалентно Ci(H1, H2) = 0.
Мы получили еще одно обобщение теоремы Э. Нётер: зная потокг коммутирующий с исследуемым, можно построить первый интеграл.
Г. Локально гамилътоновы векторные поля. Пусть (М2П, ю2)— симплек-тическое многообразие, gf: М2п —» М2п — однопараметрическая группа диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру. Будет ли gt га-мильтоновым потоком?
Пример. Пусть Мт — двумерный тор У2, точка которого задается парой координат (р, д) modd 1. Пусть со2 — обычный элемент площади dp Д
§ 41. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
191
Д dg. Рассмотрим семейство сдвигов g* (Pi g) = (р + t, q) (рис. 173). Отображения g* сохраняют симплектическую структуру (т. е. площадь). Можно-ли задать соответствующее векторное поле (р = 1, g = 0) функцией Гамильтона? Если бы р = — dHldq, q = дНІдр, мы имели бы дНІдр = 0, dHldq = = — 1, т. е. // = —g + С. Но g — это лишь локальная координата на T2; отображения Н: T2 —» R, для которого дНІдр = 0, dHldq = —1, не существует.
Итак, g* не есть гамильтонов фазовый поток.
Определение. Локально гамилыпоновым векторным полем на симплектической многообразии (M2™, го2) называется векторное поле Ia1, где ю1 — замк-яутая 1-форма на M2-.
Локально замкнутая 1-форма является дифферен- торе
циалом функции, ю1 = dH. Однако при попытке продолжить функцию H на все многообразие М2п, мы можем получить «многозначную функцию Гамильтона». Ибо замкнутая 1-форма на неодносвязном многообразии может не быть дифференциалом (например, форма dg на Г2).
Фазовый поток, заданный локально гамильтоновым векторным полем, называется локально гамильтоновым потоком.
Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она является локально гамильтоновым фазовым потоком.
Указание. См. § 38, А.
Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве R2n всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д dq) диффеоморфизмов всегда является гамильтоновым потоком.
Указание. Всякая замкнутая 1-форма в R2™ является дифференциалом функции.
Задача 8. Докажите, что локально гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. При втом скобка Пуассона двух локально гамилътоновых полей — это настоящее гамильтонова поле, его функция Гамильтона однозначно *) определена данными полями %, г\ по формуле H= а2 (I, ч).
