Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Ii, • • •, Ik+i ЄЕ R •
Натянем на эти векторы в R" параллелепипед П* (строго говоря, надо рассмотреть стандартный ориентированный куб в Rfc+1 и его линейное отображение на П*, переводящее ребра elf . . • . . ., ejt+1 в I*, . . ., I*+i, как к + 1-мерный кусок в R").
Отображение / переводит параллелепипед П* в к + 1-мерный кусок П на M («криволинейный параллелепипед»). Граница куска П есть /с-мерная цепь, сШ. Рассмотрим интеграл формы со* по границе дії параллелепипеда П:
^(Ii,---,!*«)= S и*.
еп
166
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Пример. Будем называть 0-формой на M гладкую функцию <р: M —» —» R. Интегралом 0-формы <р по О-цепи с0 = ZmiAi (где mj — целые, Ai — точки Af) назовем
Рис. 157. Интеграл по границе одномерного пар аллелепипеда— это приращение функции
Тогда предыдущее определение дает «приращение» F (I1) = ф (X1) — ф(ж) (рис. 157) функции ф, а главная линейная часть F(^1) в 0 есть просто дифференциал функции ф.
Задача 1. Докажите, что F (I1, . . ., |к+1) косо-симметрична по |.
Оказывается, главная к + 1-линейная часть «приращения» F (I1, . . ., ік+і) есть внешняя к + 1-форма на касательном пространстве TMx к M в ас. Эта форма не зависит от системы координат, с помощью которой определялся криволинейный параллелепипед П. Она называется внешней производной формы (о* (в точке х) и обозначается dco*. В. Теорема о внешней производной.
Теорема. На TMx существует и единственна к + 1-форма Q, которая является главной k + 1-линейной частью в 0 интеграла по границе криволинейного параллелепипеда F (I1, . . ., Ik+1): т. е.
F (eSx, . . ., е|к+1) = e*«Q (S1, . . ., |к+1) + о (е*«) (е 0). (1)
Форма Q не зависит от выбора системы координат, участвующей в определении F.
Если в локальной системе координат X1, . . ., хп на M форма со* записывается в виде
(О
а* = .. . ikdxh л • - - Л ^3V то форма Q записывается в виде Q = dto* = 3«??, . . . г^/\ахи Д . . . /\dxijc.
(2)
Рис. 158. К теореме о внешней производной
Доказательство этой теоремы я приведу для случая формы to1 = a (X1, X2) dx1 на плоскости X1, х2. В общем случае доказательство совершенно аналогичное, но выкладки несколько длиннее.
Сосчитаем значение F, т. е. интеграл (о1 по границе параллелограмма П со сторонами §, ц и вершиной в 0 (рис. 158). Цепь дП задается отображениями отрезка 0 t <^ 1 на плоскость t >->-і-»- %t, t і-»- і + v\t, 1r\t, t *-+ц + |f с кратностями 1, 1, —1, —1. Поэтому
і
5 to1 = J [а (І0 - a (? + і])] I1 - [a (r,f) — а (ijt + І)]
<щ о
§ 36. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
167
где I1 = dxx (?), T]1 = dxx (n), E2 = dx2 (|), T]2 = ах2(ц) — компоненты векторов I, Ї]. Но
a (It + T1) - a (If) = T]1 + -|| T]2 + О (|» + rf) (производные берутся при Or1 = х2 = 0). Точно так же
a (Vf + D - а Ы) = -ц- I1 + -ц. |2 + О (|* + Tf). Подставляя эти выражения в интеграл, находим
F (I, T1) = J со* = -|SL (I2T]1 - I1T12) + о (|« + Tf).
ОП
Главная билинейная часть F, как обещано в (1), оказалась значением внешней 2-формы
fl = dx2 Л ^r1
на паре векторов |, tj. При этом полученная форма дается формулой (2), ибо
da/\dxt = -^dX1AdX1 + -^-dx2A dxt = -^dx2/\ ахг.
Наконец, если систему координат X1, X2 заменить другой (рис. 159), то параллелограмм П заменится близким криволинейным параллелограммом П', так что разница значений интегралов § to1 — § со1 будет малой выше второго ^2''
дП ЄП'
порядка (проверьте!), ч.т.д. ..
у\ V •&//"
Задача 2. Провести доказательство теоремы в г \ / S^^Jl х общем случае. ML^--"* ~?
Задача 3. Доказать формулы дифференцирования суммы и произведения: Рис. 159. Независимость внешней про-
d (to* Д or) = dar А ю' + (—lro)* Д da1, изводной от системы
координат
d ((O1 + O)2) = (J(O1 + (Jo)2.
Задача 4. Доказать, что дифференциал дифференциала равен нулю: dd = 0.
Задача 5. Пусть /: M -+ N — гладкое отображение, о) — А-форма на N. Докажите, что /* (da) = d (/*ш).
Г. Формула Стокса. Одним из важнейших следствий теоремы о внешней производной является формула Ньютона — Лей б н и ца — Гаусса — Грина — Остроградского — Стокса — Пуанкаре:
§ to = § d<u, (3)
Sc с
168
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
где с — любая к + 1-цепь на многообразии M, а со — любая /с-форма на многообразии М.
Доказательство этой формулы достаточно провести для случая, когда цепь состоит из одного куска а. Предположим сначала, что этот кусок а задается ориентированным параллелепипедом П CZ Rk+1 (рис. 160).
Разобьем П на Л™+1 малых равных параллелепипедов П{, подобных П. Тогда, очевидно,
§ to = 2 рь где Fi= I
Ґ
~|
I
I
со.
Рис. 160. Дока-вательство формулы Стокса для параллелепипеда
где |i, . . ., Ik+1
гральная сумма для ^ da.
п
равномерное, поэтому
lim 2 Fj = lim
дП
По формуле (1) имеем F1 = da (Ii, .
ребра H1. Но 2j ^Co(I1,
en.
, U+1) + о (ЛГ-(*+і>),
. Ik+l) ЄСТЬ ИНТЄ-
Легко проверить, что о (N~(k+1))
2 da (Ц,
