Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
А = ^1C1 + А2е2 + А3е3
(компоненты A1 — гладкие функции на многообразии M). Соответствующая 1-форма юл разлагается по базису dxt, а соответствующая 2-форма шл — по базису dxt Д dxj.
Задача 15. Зная компоненты векторного поля А, найти разложения 1-формы иiA и 2-формы юА.
Решение. Имеем аА (ех) = (A, ех) = A1. В то же время (O1Hx1 -f-
-J- a2dx2 -f- O3(Ix3) (ех) = O1Ux1 (ех) = aj/VE1- Отсюда находим O1 = A1V так что
ил = A1\/~E~1dx1 + A2VE2Ux2 + A3VE3Ux3.
Точно так же имеем аА (е2, е3) = (А,"е2, е3) = A1. В то же время
1
(axdx2 Д dx3 -f- a2dx3 Д dxx + а3 dxx Д dx2) (e2, e3) -= k1 —/-¦=-=- •
У E2E3
Отсюда Cs1 = A1V E2E3, T- e-
CO2J = A1VE2E3dx2 Д Ux3 -f- A2VE3E1CLx3 Д «1? + A3VE1E2Ux1 Д dx2.
158 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
на касательных векторах (рис. 146):
Ь частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах в R3 векторному полю
А = Ахех + Ауеу + Azez = Атет + \ev + Azez = AHeR + AQeQ + Авев отвечает 1-форма
CO^ = Axdx -}- Aydy -j- Azdz = /4rdr -f- M^dcp -f- Azdz =
= 4Rdi? + R cos G j^dcp + iMHdo
и 2-форма
= AxUy Д dz -f- .<4^dz Д djc + /42йг /\dy =
= n4rdcp Д dz -f- Aydz Д dr -f- Мгйг Д d<p =
= i?2 cos Є/4нйср Д d8 4- Ai4,pd8 Д d/f + R cos G^2di? Д dep.
Примером векторного поля на многообразии M является градиент функции /: M -*¦ R. Напомню, что градиентом функции называется векторное поле grad /, соответствующее дифференциалу:
<4rad/ = <V. т.е. df (g) = (grad /, ?), у|.
Задача 16. Найти компоненты градиента функции в базисе ех, е2, es.
0/ 5/
Решение. Имеем df = dxx -j- ^у ¦ da;2 + -^— dar3. Согласно предыдущей задаче
1й/ 1о/ 1 df
grad/=Tl: ^1+Є2+7Ш~^ея-
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах
Staif=^ex + ^ev + ^ez = -frer + ~-bbe<p + -bTez='
_df_ 1 df ,J_9f_
— &ReR+ R cos Є dtp e<s> + R o9 V
§ 35. Интегрирование дифференциальных форм
Здесь определены понятия цепи, границы цепи и интеграла формы поце-пи. Интеграл дифференциальной формы есть многомерное обобщение таких
понятий, как поток жидкости через поверхность или работа силы на пути.
А. Интеграл 1-формы по пути. Начнем с интегрирования 1-формы со1 на многообразии M. Пусть у: [О <I t < 1] ->-—> M — гладкое отображение («путь интегрирования»). Интеграл формы со1 на пути у определяется как предел интег-Рис. 146. интегрирование ральных сумм. Каждая интегральная сум-
1-формы по пути * „ у ,
ма составляется из значении формы to1
§ 35. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 159
Касательные векторы строятся следующим образом. Отрезок 0< t 1 точками tі делится на части Аг: ?г <Z t <I Отрезок A1, можно рассматривать как касательный вектор к оси t в точке tt. Его образ в касательном пространстве к M в точке у и есть
h = dy I4(A1)Gl TМщу
При стремлении наибольшего из отрезков Aj к нулю интегральные суммы имеют предел. Он и называется интегралом 1-формы to1 по пути у.
Замысел определения интеграла А-формы по А-мерной поверхности аналогичен. Поверхность интегрирования разбивается на малые криволинейные А-мерные параллелепипеды (рис. 147) ^
Рис. 147. Интегрирование 2-формы Рис. 148. Интегрирование ft-фор-по поверхности мы в fe-мерном пространстве
эти параллелепипеды заменяются параллелепипедами в касательном пространстве, сумма значений формы на параллелепипедах касательного пространства стремится к интегралу при измельчении разбиения. Рассмотрим вначале частный случай.
Б. Интеграл А'-формы в /.--мерном ориентированном евклидовом пространстве RA Пусть X1, . . ., хк — ориентирующая система координат в Rfc. Тогда всякая А-форма в RK пропорциональна форме Ux1 Д . . . Д dxM, т. е. имеет вид tofc = ср (х) dx1 Д . . . . . . Д dxk, где ф (х) — гладкая функция.
Пусть D — выпуклый ограниченный многогранник в Rs (рис. 148). По определению, интегралом формы со* по D называется интеграл функции <р:
tofc = ^ ф (х) dxx . . . dxk,
D D
где интеграл справа понимается как предел обычных римановых интегральных сумм.
Такое определение является реализацией намеченного выше замысла, так как в рассматриваемом случае касательное пространство к многообразию отождествляется с многообразием.
Задача 1. Докажите, что ^ шК зависит от ш* линейно.
D
Задача 2. Докажите, что если разбить D на два выпуклых многогранника, I), и D2, то ^ и* = ^ шк -f- ^ шк.
D D1 D1
160
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В общем случае (А-форма в n-мерном пространстве) отождествить элементы разбиения с касательными параллелепипедами не так просто; ниже мы сведем этот случай к рассмотренному.
В. Поведение дифференциальных форм при отображениях. Пусть /: M —*¦ N — дифференцируемое отображение гладкого многообразия M в гладкое многообра-' Я зие N и со — дифференциальная к-форма на N (рис. 149).
Тогда на M также возникает определенная fc-форма; она обозначается через /*со и определяется соотношением
Рис. 149. Форма на N индуци-
