Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
<=0
Аг(х) = А(х).
2. Дифференциальный оператор первого порядка LA. Речь идет о дифференцировании функций по направлению поля А: для всякой функции ср: M R производная по направлению А есть новая функция ЬЛ ф, значение которой в точке ас есть
(?лф) (ас) = Ц Ф (Агх).
Задача. Докажите, что оператор LA линейный:
1^a + ^гФз) = М-лФі + KLA^2 (^i' s R)-
Докажите формулу Лейбница1 LA (фхф2) = q>1LAffi + фг^лФі-Пример. Пусть (X1, . . ., хп) — локальные координаты на M. В этой
системе координат вектор А (ас) задается компонентами (^1 (ас), . . ., An (ас));
поток А* задается системой дифференциальных уравнений X1 = A1 (х), . . ., хп = An (х)
и, следовательно, производная ф = ф (хг, . . ., Xn) по направлению А есть
оЧр
1av = a1-^+ ...+аптг.
п
Можно сказать, что операторі LA в координатах (xt, . .
д . _д_
., Xn) имеет вид
ьА = А*-дх7
а это и есть общий вид линейного дифференциального оператора первого порядка в координатном пространстве.
Задача. Докажите, что соответствие между векторными полями А, потоками Л* и дифференцированиями LA взаимно однозначно.
В. Скобка Пуассона векторных полей. Пусть на многообразии M даны два векторных поля А и В. Соответствующие по-
*) По теоремам существования, единственности и дифференцируемости теории обыкновенных дифференциальных уравнений группа А* определена, если многообразие M компактно. В общем случае отображения А1 определены лишь в окрестности ас и лишь для малых V, этого достаточно для дальнейших конструкций.
§ 39. АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 183
а
dt
есть, очевидно, дифференцируемая функ- в, ция, обращающаяся в 0 при S = Oh при t = 0. Поэтому первый отличный от 0 член ряда Тейлора Д по s и t в 0 содержит st, а другие члены второй степени исчезают. Со- „ ,„„ „
^rJ г _ „ Рис. 169. Некоммути-
СЧИТаеМ ЭТОТ ГЛаВНЫИ ОИЛИНеиНЫИ ЧЛЄН рующие потоки
А в 0.
Лемма 1. Смешанная производная A по s, t в 0 равна коммутатору дифференцирований по направлениям А и В:
-ьтш U=o4 ^А'^х) ~ ф {В°А'Х) = (l*Lav ~ L*L*4) (*)•
Доказательство. По определению Ад, Ф (A1B1X) = (A4Ip) (B3X). Если обозначить функцию Aaф через тр, то по определению Ав -jL- |s=o яр (В°х) = (LB^)(x).
Итак,
-^1^4)(^) = (^4))(*).
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь возникший коммутатор дифференцирований AbAi — Aa Ав. На первый взгляд это — дифференциальный оператор второго порядка.
Л е м м а 2. Оператор LbLa — AaAb есть линейный дифференциальный оператор первого порядка.
Доказательство. Пусть (A1, . . ., An); (B1, . . ., Bn) — компоненты полей А, В в локальной системе координат (X1, . . ., хп) на М. Тогда
п п п „ . п
і=і і=ч ' «•J=I «,3=1
дх.дх.
токи А1 и В*, вообще говоря, не коммутируют: A1B8 ф В*А* (рис. 169).
3 адата. Привести пример.
Решение. Поля А = е%, В = хге% на плоскости (X1, х2).
Для измерения степени некоммутативности двух потоков А1, В" рассмотрим точки A'Bsx и В"А'х. Чтобы оценить различие^ между этими точками, сравним значение в них какой-нибудь гладкой функции ср, заданной на многообразии М. Разность
Д (t, s; х) = <р (A1B3X) — ф (ВаА1х)
184
ГЛ. 8. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Если вычесть LaLb^, то слагаемое со вторыми производными <р пропадет, и мы иолучим
<ГЙ V г J }
Итак, лемма доказана.
Но поскольку каждый линейный дифференциальный оператор первого порядка задается векторным полем, наш оператор LBLA — — LALB также соответствует некоторому векторному полю С.
Определение. Скобкой Пуассона или коммутатором двух векторных полей А, В ъ& многообразии M называется *) векторное поле С, для которого
Lc = LjgLА — LaLb-
Скобка Пуассона двух векторных полей обозначается
C=[A1B].
Задача. Пусть поля А, В заданы в координатах Xj компонентами (Ai, Bi). Найти компоненты их скобки Пуассона.
Решение. При доказательстве леммы 2 уже доказана формула
\р ва. вв.
1? • •
Задача. Пусть A1 — векторное поле линейных скоростей твердого тела, вращающегося с угловой скоростью щ, a A2—с угловой скоростью ©2 вокруг точки О. Найти скобку Пуассона [A1, A2}.
Г. Тождество Якоби.
Теорема. Скобка Пуассона превращает линейное пространство векторных полей на многообразии M в алгебру Ли.
Доказательство. Линейность и кососимметричность скобки Пуассона очевидны. Докажем тождество Якоби. Имеем по определению скобки Пуассона
^tI-Ai-BLC] = L0L[A, в] — L[A, BjLc =
= LqLbLa — LcLaLb Л~ LaLbLc — LbLcLд.
Всего в сумме LllAt Bj, Cj + L11B, Cj, Aj + L11c, Aj, Bj будет 12 слагаемых. Каждое слагаемое войдет в сумму дважды с противоположными знаками. Теорема доказана.
Д. Условие коммутативности потоков. Пусть А, В — векторные поля на многообразии М.
Теорем а. Два потока А1, В* коммутируют тогда и только тогда, когда скобка Пуассона соответствующих векторных полей [A, Bl равна нулю.
*) Во многих книгах принимается другой знак. Наш знак согласован со знаком коммутатора в теории групп Ли (см. п. E).
