Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Дифференциальная форма со на многообразии M замкнута, если ее внешняя производная равна нулю! da = 0.
В частности, 2-форма сол, отвечающая полю без источников А, замкнута. Из формулы Стокса (3) сразу следует
Теорема. Интеграл замкнутой формы со" по границе любой k + 1-мерной цепи ск+1 равен нулю:
^ со* = 0, если d<Dk = 0.
ock+l
Задача 11. Докажите, что дифференциал формы всегда замкнут.
С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, Существуют ЗаМКНуТЫе Рис. 163. Поле л
формы, не являющиеся дифференциалами.)
Например, рассмотрим в качестве многообразия M трехмерное евклидово пространство R3 без точки О: M = R3 — О, а в качестве
2-формы — поток поля А = -^- ен (рис. 163). Легко убедиться, что
div A = O, так что наша 2-форма со^ замкнута. В то же время поток через любую сферу с центром в О равен 4я. Покажем, что интеграл дифференциала формы по сфере должен равняться нулю.
172
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Определение. Циклом на многообразии M называется цепь, граница которой равна нулю.
Ориентированную поверхность нашей сферы можно рассматривать как цикл. Из формулы Стокса (3) сразу следует
Теорема. Интеграл дифференциала по любому циклу равен нулю:
§ dC0fc = О, ЄСЛИ OCIc+1 = 0. CR-U
Итак, наша 2-форма ыА не есть дифференциал никакой 1-формы.
Существование на мнообразии M замкнутых форм, не являющихся дифференциалами, связано с топологическими свойствами М. Можно показать, что в линейном пространстве всякая замкнутая Л-форма есть дифференциал некоторой к — 1-формы («лемма Пуанкаре»).
Задача 12. Докажите лемму Пуанкаре для 1-форм.
Указание. Рассмотрите ^ ю1 = ф(X1).
Задача 13. Докажите, что в линейном пространстве интеграл замкнутой формы по любому циклу равен нулю.
Указание. Построить к + 1-цепь, границей которой является данный цикл (рис. 164).
А именно, для любой цепи с рассмотрите «конус над с с вершиной 0». Если обозначить операцию построения конуса через р, то
dop -f- род = 1 (тождественное преобразование).
Поэтому, если цепь с замкнута, то д (рс) = с.
Задача 14. Докажите, что в линейном простран-Рис. 164. Конус над стве всякая замкнутая форма является полным диффе-циклом ренциалом.
Указание. Воспользоваться конической конструкцией. Пусть со*—дифференциальная ft-форма в Rn. Определим дифференциальную к — 1-форму («коконус над со») рю* следующим образом: для
ЛЮбоЙ ЦеОИ CfC-1
SH С к P(O = J (D .
ск-1 Рск
Легко проверить, что к — 1-форма рш* существует и единственна; ее значе-ние_на векторах I1, ... , %н-іі касательных к Rn в ос, равно
і
,Pw)x(Ii,..., !^1) = J atx (х, t|i,..., *|к-1) dt. о
Легко проверить, что
dop -f- pod = 1 (тождественное преобразование).
Поэтому, если форма <ок замкнута, то d (рш6) = <в*.
§ 36. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
173
Задача 15. Пусть X — векторное поле на М, а со — дифференциальная fc-форма. Определим дифференциальную к — 1-форму (так называемое внутреннее произведение X на со) ixa> соотношением
(ix(x>) (I1, . . ., lk-i) — ?> (X1 Si, - - ., Sjt-i)-
Докажите формулу гомотопии
і ^d -\- dix = Lx,
где Lx — оператор дифференцирования по направлению поля X.
[Действие оператора Lx на формы определяется с помощью фазового потока (g*} поля X соотношением
(?«)) (D = 4-1 tutet?).
Оператор Lx называют производной Ли или производной рыбака: поток несет мимо рыбака всевозможные !дифференциально-геометрические объекты, а рыбак сидит на месте и их дифференцирует.]
Указание. Обозначим через H «оператор гомотопии», сопоставляющий fc-пепи у: а —* M k + 1-цепь Ну: (/ X от) —» M по формуле (Ну) (t, х) = = g*Y W (где / = [0,1]). Тогда
giy _ т = д (Ну) + H (ду).
Задача 16. Докажите формулу дифференцирования векторного произведения в трехмерном евклидовом пространстве (или римановом многообра-8ии):
rot [а, b] = {а, Ь) + a div Ь — Ь div а
(где {а, Ь) = Lab — скобка Пуассона векторных полей, см. § 39). Указание. Если т — элемент объема, то
'rot [а, 6] т = diahxi div а — did*, {«. 6) = LaP',
пользуясь этими соотношениями и не забывая, что dx = 0, легко вывести формулу для rot [а, Ь] из формулы гомотопии.
3. Добавление 3. Когомологии и гомологии. Все /с-формы на M образуют линейное пространство, замкнутые й-формы — его подпространство, а дифференциалы к — 1-форм — подпространство пространства замкнутых форм. Фактор-пространство
(замкнутые формы)/(дифференциалы) = Нк (M, R)
называется к-мерной группой когомологии многообразия M. Элементом этой группы является класс замкнутых форм, отличающихся друг от друга лишь на дифференциал.
Задача 17. Доказать, что для окружности S1 имеем H1 (S1, R) == R.
Размерность пространства Нк (М, R) называется k-мерным числом Бетти многообразия М.
Задача 18. Найти одномерное число Бетти тора T2 = S1 X S1.
Поток жидкости (без источников) через поверхности двух концентрических сфер одинаков. Вообще, при интегрировании
174
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
