Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
(CO1 + CO2) (I11 |2) = O1 (I1, |2) + CO2 (I1, |2),
а умножение на число — формулой
(щ (Ii, I2) = ^CO (I1, |2).
Задача 2. Докажите, что это пространство конечномерно, и най дите его размерность.
п(п—1)
Ответ. -2-і базис указан ниже.
В. Л-формы.
Определение. Внешней формой степени к, или к-фор-мой, называется функция от к векторов, которая к линейна и
§ 32. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ
145-
кососимметрична:
Ю (^lll + ^2і1, і2' • • • » Ik) = V0 (ll> і2'
W(Ii1, • • • , lifc) = (— IfCO(S1, ..., lfe), где V = <
»Ik) + ^2ш (її' і2> • • • ' It)'
'О, если перестановка I1,..., ijj четная
1, если перестановка I1, ... , її; не-* четная.
Пример 1. Ориентированный объем параллелепипеда с ребрам» ^1, . . ., ?п в ориентированном евклидовом пространстве Rn есть /г-форма (рис. 138)
• •• Вщ
5ni
где Ii = 1^e1 + . . . + li„en и et, . . ., en — базис Rn.
Пример 2. Пусть R" — fc-мерная ориентированная плоскость в и-мерном евклидовом пространстве Rn. Тогда /v-мерный ориентированный объем проекции параллелепипеда с ребрами I1,12, . . ., 1к є Rn на R* есть /v-форма на Rn.
Множество всех A-форм в R™ становится вещественным линейным пространством, если ввести в нем операции сложения \ъ,
(со, + CO2) (1)=0),(5) + 0),(1),
I — {!г> • • •' 1кЬ Ii и умножения на число
(xco)(I) = МО (с).
Рис. 138. Ориентированный объем — 3-форма
Задача 3. Доказать, что это линейное пространство конечномерно, и найти его размерность.
Ответ. С?; базис указан ниже.
Г. Внешнее произведение двух 1-форм. Введем теперь еще одну операцию: внешнее умножение форм. Если со*—A-форма и со' — J-форма в Rn, то их внешнее произведение со* Д «г будет к -f- /-формой. Вначале определим внешнее произведение 1-форм, сопоставляя каждой паре 1-форм Co1, со2 в некоторую 2-форму CO1 Д CO2 в Rn.
Пусть I — вектор Имея две 1-формы Co1 и со2, можно определить отображение Rn на плоскость RxR, сопоставляя IeR" вектор со (D с компонентами Co1 (§), со2 (|) на плоскости с координатами Co1, со2 (рис. 139).
Определение. Значение внешнего произведения Co1 Д со2 на паре векторов I11 |2 ЄЕ Rn есть ориентированная площадь об-
146
ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЬНЫЕ ФОРМЫ
раза параллелограмма со сторонами %г,12 на плоскости Co1, со2
Mi1) ю2(Іі)
(CO1 Л CO2)(Il. I2) =
COl(I2) МУ
Рис. 139. Определение внешнего произведения двух !-форм
Задача 4. Доказать, что W1 Д W2 действительно есть 2-форма.
Задача 5. Доказать, что отображение
(U)1, O2) -* O)1 Д ?о2 билинейно и кососимметрично:
W1 Д CO2 = —ш2 Д CO1, (X'+ VtO1) Д O)2 = JiZtO1 Д O2 + Vcoi Д W2-
Указание. Определитель билинеен и косо-симметричен не только по строкам, но и по столбцам.
Пусть теперь в Rn выбрана система линейных координат, т. е. заданы п независимых 1-форм X1, . . .,хп. Эти формы мы будем называть базисными. Внешние произведения базисных форм суть 2-формы xt Д X1.
ВВИДУ КОСОСИММетрИЧНОСТИ, і;Діі = О, X1 Д Xj = —Xj Д X1.
Геометрический смысл формы X1 Д X1 очень прост: ее значение на паре векторов I1, I2 равно ориентированной площади проекции параллелограмма I1,12 на координатную плоскость хг, xt параллельно остальным координатным направлениям.
п(п — 1)
Задача 6. Докажите, что Cn =-2-форм х» Д Xj (і < /) линейно независимы.
В частности, в трехмерном пространстве (хи X2, х3) площадь проекции на плоскость (X1, х2) есть X1 Д х2, на плоскость (?, х3) — —хг Д х3, на плоскость (х3, X1) — X3 Д X1.
Задача 7. Докажите, что все 2-формы в трехмерном пространстве (X1, х2, х3) исчерпываются формами
Px2 Д X3 + O3 Л% + Rxi Л хг-
Задача 8. Докажите, что каждая 2-форма в n-мерном пространстве с координатами X1, . . ., х„ однозначно представляется в виде
0)2 = S bixi A1J-
і<І
Указание. Пусть е% — і-й базисный вектор, т. е. Xj (e») = 1, Xj (ei) = О, J Ф і. Рассмотрим значения формы ю2 на паре в{, в/. Тогда
aij = o? (Єі, et).
Д. Внешние одночлены. Пусть теперь даны к 1-форм colf . . . . . toR. Определим их внешнее произведение CO1 Д ... Д cofc.
I 32. ВНЕШНИЕ ФОРМЫ
147
Определение. Положим
К Л- ••A^)(Ii.....S,)= CO1(I,)... со, (|к)
Иными словами, значение произведения 1-форм на параллелепипеде I1, . . ., |к равно ориентированному объему образа параллелепипеда в ориентированном евклидовом координатном пространстве RR при отображении | >->- ((O1 (|), . . ., со, (|)).
Задача 9. Докажите, что Co1 Д . . . Д есть ft-форма. Задача 10. Докажите, что операция внешнего умножения 1-форм задает полилинейное кососимметрическое отображение
(CO1, . . ., сок) Co1 Д . . . Д cofc.
Иными словами,
(А,Ц + ^CO1) Д CO2 Д ... Дсо^ = Vcoj ДсогД.
Bi1A- Д%=(-1)гсоіД .
где
О, если перестановка
• Д «и + ^a1 Д CO2 Д... Д сок>
• Д «V
ift четная,
если перестановка ilt..., ^ нечетная.
Рассмотрим теперь в Rn систему координат, заданную базисными формами X1, . . ., хп. Внешнее произведение к базисных форм
^i1 Л • • • Л 1 < 1т < П,
есть ориентированный объем проекции й-параллелепипедов на fc-плоскость (xti, . . ., xik) параллельно остальным координатным направлениям.
