Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Пуассоновское действие группы G на симплектической многообразии M определяет отображение многообразия M в дуальное
340
ДОБАВЛЕНИЕ 5
пространство алгебры Ли группы
P : M-+$,*.
А именно, зафиксируем точку х из M и рассмотрим функцию на алгебре Ли, сопоставляющую каждому элементу а алгебры Ли значение гамильтониана Па в фиксированной точке х:
Px (a) = Hа (*)¦
Эта линейная функция рх на алгебре Ли и является тем элементом дуального к алгебре пространства, который сопоставляется точке х:
P О) = Px-
Мы будем называть отображение P моментом, следуя предложению Сурио. Заметим, что значение момента — всегда вектор линейного пространства g*.
Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, M= T*V — кокасательное расслоение, Hn — функция Гамильтона пуассоновского действия G на М, построенная выше (см. (1)).
Тогда отображение «момент» Р: M —* д* может быть описано следующим образом. Рассмотрим отображение Ф: G —> М, заданное действием всех элементов группы G на фиксированную точку х из M (так что Ф (g) = gx). Каноническая 1-форма а на M индуцирует на G 1-форму Ф*а. Ее сужение на касательное пространство к G в единице есть линейная форма на алгебре Ли.
Итак, каждой точке х из M мы сопоставили линейную форму на алгебре Ли. Легко проверить, что полученное отображение и есть момент рассматриваемого пуассоновского действия.
В частности, если V — евклидово трехмерное пространство, a G — группа его вращений вокруг точки О, то значения момента — это обычные векторы кинетического момента; если G — группа вращений вокруг оси, то значения момента суть кинетические моменты относительно этой оси; если G — группа параллельных переносов, то значения момента — это векторы импульсов.
Теорема. Пуассоновское действие связной группы Ли G при отображении момента P переходит в коприсоединенное действие группы G на дуальном к ее алгебре Ли Q пространстве g* (см. добавление 2), т. е. коммутативна диаграмма
M M
Р\ Ad* J"' 8* — 8*
Следствие. Пусть функция Гамильтона H : M^ —»- R инвариантна относительно пуассоновского действия группы G на М. Тогда момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н.
Доказательство теоремы. Теорема утверждает, что функция Гамильтона На однопараметрической группы Yf при диффеоморфизме g переходит в функцию Гамильтона НАА а однопараметрической группы ghtg~1.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ C СИММЕТРИЕЙ
341
Пусть gs — однопараметрическая группа с функцией Гамильтона Щ- Достаточно доказать совпадение производных по s (при s = 0) функций Ha(gsx) и НАА s (х). Первая из производных равна значению скобки Пуассона функ-
ё ^
ций (Hа, Hh) в точке х. Вторая же есть #[a>0] (х). Поскольку действие пуас--соновское, теорема доказана.
Доказательство следствия. Производная каждой компоненты момента по направлению фазового потока с функцией Гамильтона H равна нулю, так как она равна производной функции H по направлению фазового потока соответствующей однопараметрической группы g, ч. т. д.
Б. Приведенное фазовое пространство. Пусть дано пуассонов-•ское действие группы G на симплектическом многообразии М. Рассмотрим множество] уровня момента, т. е. прообраз какой-либо точки р ее 3* при отображении Р. Это множество мы обозначим через M1,, так что (рис. 238)
Мр = P-1 (р).
Во многих важных случаях множество Мр является многообразием. Например, это будет так, если р — регулярное значение момента, т. е. если дифференциал отображения P в каждой точке множества Мр отображает касательное пространство к M на все касательное пространство к д*.
Группа Ли G, действовавшая на М, вообще говоря, переставляет множества Mp друг с другом. Однако стационарная подгруппа точки р в коприсоединенном представлении (т. е. подгруппа, состоящая из тех элементов g группы G, для которых
Ad*p = р) оставляет Мр на месте. Обозначим эту стационарную подгруппу через Gp. Группа Gp является группой Ли, и она действует на множестве уровня момента Мр.
Приведенное фазовое пространство получается из Мр факторизацией по действию группы Gp. Для того чтобы такая факторизация имела смысл, нужно сделать некоторые предположения. Например, достаточно предположить, что
1) P — регулярное значение, так что Мр
2) Стационарная подгруппа Gp компактна.
3) Элементы группы Gp действуют на Мр без неподвижных точек.
Рис. 238.
Приведенное фазовое пространство
многообразие.
Замечание. Эти условия можно ослабить. Например, вместо компактности группы Gp можно потребовать, чтобы действие было собственным (т. е. чтобы прообразы компактных множеств при отображении (?, х) >-> (g(x), х) были компактными). Например, действие группы на себе левыми или правыми сдвигами всегда собственное.
342
ДОБАВЛЕНИЕ 5
Если условия 1), 2), 3) выполнены, то легко определить на множестве орбит действия Gp на Мр структуру гладкого многообразия. А именно, карту в окрестности точки х E= Мр доставляет любая трансверсальная к орбите Gpx площадка, размерность которой равна коразмерности орбиты.
