Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Направления характеристических векторов (т. е. содержащие их прямые) определены контактной структурой в каждой точке многообразия E однозначно.
Таким образом, на гиперповерхности E в контактном многообразии M возникает поле характеристических направлений.
336
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Интегральные кривые этого поля направлений называются характеристиками.
Пусть теперь дано п — 1-мерное подмногообразие / нашей гиперповерхности Е2п, которое является интегральным для контактного поля (так что касательная плоскость к I в каждой точке принадлежит контактной плоскости).
Теорема. Если в точке х из I характеристика на Е2п не касается I, то в окрестности точки х характеристики на Е2п, проходящие через точки I, образуют лежандрово подмногообразие Ьп в М2п+1.
Доказательство. Пусть | — векторное поле на Е2п, образованное характеристическими векторами. По формуле гомотопии (см. стр. 173), на Е2п имеем L^a = аща -j- i^da.
Но i|<x = 0, так как характеристический вектор принадлежит контактной плоскости. Следовательно, на Е2п имеем L^a = гцо. Но 1-форма i|to равна нулю на пересечении касательной плоскости к Е2п с контактной плоскостью (ибо на контактной плоскости i|to = аФ, а на касательной аФ = 0). Поэтому на касательной к Е2п плоскости гцо = ca. Итак, на гиперповерхности E
L^a = са
(где с — гладкая в окрестности точки х функция).
Пусть теперь {g1} — фазовый (локальный)-поток поля | и ц — вектор, касательный к Е2п. Положим rj (t) = gir\ и у (t) = = a (rj (t)). Тогда функция у удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
dyldt = c(t) у (t).
Если Tj (0) касается /, то у (0) = a (rj (0)) = 0. Значит, у (?)= = a (rj (?)) = 0, т. е. rj (t) при всех t лежит в контактной плоскости. Следовательно, g*I — интегральное многообразие контактного поля. Поэтому образованное всеми {glI} при малых t многообразие лежандрово. Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим R2n+i с координатами X1, . . ., Xn; P1, . . ., рп; и и с контактной структурой, заданной 1-формой а = du — р dx. Функция Ф (х, р, и) задает дифференциальное уравнение Ф (х, ди/дх, и) = 0 и подмногообразие E = Ф-1 (0) в пространстве R2n+i (называемом пространством 1-струй функций в Rn).
Начальным условием для уравнения Ф = 0 называется задание значений / функции и на гиперповерхности Г размерности п — 1 в n-мерном пространстве с координатами X1, . . ., хп.
Начальное условие определяет производные и по п — 1 независимому направлению в каждой точке Г. Производную по направлению, трансверсальному к Г, можно, вообще говоря, найти из уравнения; если при этом выполняются условия теоремы о не-
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ
337
явной функции, то начальное условие называется нехарактеристическим.
Нехарактеристическое начальное условие задает интегральное п — 1-мерное подмногообразие / формы а (являющееся графиком отображения и = / (х), р = р (х), х ЄЕ Г). Характеристики на Ex пересекающие /, образуют лежандрово подмногообразие в R2"+1, являющееся графиком отображения и = и (х), р = ди/дх. Полученная функция и (х) — решение уравнения Ф (х, ди/дх, и) = О с начальным условием и |г = /.
Заметим, что для нахождения функции и нужно лишь решить систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для характеристик на ? и проделать ряд «алгебраических» операций.
Добавление 5 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ
По теореме Э. Нётер однопараметрические группы симметрии динамической системы определяют первые интегралы. Если система выдерживает более широкую группу симметрии, то возникает несколько интегралов.
Совместные многообразия уровня этих первых интегралов в фазовом пространстве являются инвариантными многообразиями фазового потока. Подгруппа группы симметрии, оставляющая такое инвариантное многообразие на месте, действует на нем. Во многих случаях можно рассматривать фактор-многообразие инвариантного многообразия по зтой подгруппе. Это фактор-многообразие называется приведенным фазовым пространством. Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру. Исходная гамильтонова динамическая система задает на нем снова гамильтонову систему.
Разбиение фазового пространства на совместные многообразия уровня первых интегралов имеет, вообще говоря, особенности. Примером является разбиение фазовой плоскости на линии уровня энергии.
В настоящем добавлении кратко обсуждаются динамические системы в приведенных фазовых пространствах и их связь с инвариантными многообразиями в исходном фазовом пространстве. Все эти вопросы исследовались еще Якоби и Пуанкаре («исключение узла» в задаче многих тел, «понижение порядка» в системах с симметрией, «перманентные вращения» твердого тела и т. п.). Подробное изложение в современной терминологии имеется в статьях: С м е й л С. Топология и механика // УМН.— 1972.— Т. 27, № 2.— С. 78—133 (Inventiones Mathematicae.— 1970.— V. 10, № 4.— Р. 305—331; 1970.— V. 11, № 1.— Р. 45—64); M а р с-д е н Дж., Вейнстейн А. Редукция симплектических много-
338
ДОБАВЛЕНИЕ 5
