Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
тде w — некоторая функция, которую можно считать равной нулю в начале-координат. В частности, на поверхности P0 = 0 форма а принимает вид
а |ро=0 = P1^g1 + . . . + pndqn + dw.
Проекция к позволяет перенести координаты P1, . , ., pn; qB; Q1, . . ., qn. и функцию w на контактное многообразие. Точнее, мы определим функции х, у, z формулами
Xi (пА) = pi (A), yi (пА) = Q1 (A), z (пА) = w (А),
где А — точка на поверхности р0 = 0. Тогда мы получаем
еа = xdy + dz,
и остается лишь проверить, что функции (х-,, . . ., Xn; yt, . . ., уп; z) образуют координатную систему. Для этого достаточно проверить, что отлична от нуля частная производная функции w по q0. Иными словами, нужно проверить, что 1-форма а на векторе координатного направления q0 отлична от нуля. Последнее эквивалентно отличию от нуля 2-формы da на паре векторов: координатном направления q0 и вертикальном.
Но вектор координатного направления q0 косоортогонаяен всем векторам координатной плоскости р0 = 0. Если бы он был вдобавок косоортогонаяен и вертикальному вектору, то он был бы косоортогонален всем векторам вообще, вопреки невырожденности формы da. Итак, dwldqB ф 0, и теорема доказана.
И. Контактные гамильтонианы. Предположим, что контактная структура контактного многообразия задается дифференциальной 1-формой со, и что эта форма фиксирована.
Определение, ю-вложением контактного многообразия в свою симплектизацию называется отображение, сопоставляющее точке контактного многообразия сужение формы со на касательную плоскость в этой точке.
Определение. Контактной функцией Гамильтона контактного векторного поля на контактном многообразии с фикси-
330
ДОБАВЛЕНИЕ 4
рованной 1-формой со называется функция К на контактном многообразии, значение которой в каждой точке равно значению однородного гамильтониана H симплектизации поля в образе данной точки при со-вложении:
K(A) = H (со Ц).
Теорема. Контактная функция Гамильтона К контактного векторного поля X на контактном многообразии с выбранной !-формой со равна значению формы со на этом контактном поле:
К = со (X).
Доказательство. Воспользуемся выражением для приращения обычной функции Гамильтона вдоль пути через векторное поле и контактную структуру (§ 48, В).
Для этого проведем через ту точку В в симплектизации, в которой мы хотим вычислить функцию Гамильтона, вертикальный отрезок {XB}, 0 < % ^ 1. Сдвиги этого отрезка за малое время т под действием симплектизации потока, заданного нашим полем X, заполняют некоторую двумерную полоску а (т). Значение гамильтониана в точке В равно пределу
H (В) = lim _L С С da,
T-K) IjJ
a (X)
так как H (A.J3) —» 0 при К —> 0. Но интеграл формы da по полоске равен интегралу 1-формы а по краю, образованному траекторией точки В (остальные части границы дают нулевые интегралы). Поэтому двойной интеграл равен просто интегралу 1-формы а по отрезку траектории, а предел — значению 1-формы а на векторе скорости Y симплектизованного поля. Стало быть, К (пВ) = H (В) = а (Y) = <о (X), что и требовалось доказать.
К. Вычислительные формулы. Предположим теперь, что мы пользуемся координатами теоремы Дарбу, в которых форма со имеет нормальный вид
со = х dy + dz, X= (X1, . . ., zn), у = (ух, . . ., уп).
Задача. Найти компоненты контактного поля с данной контактной функцией Гамильтона К = К (х, у, z). Ответ. Уравнения контактного потока имеют вид
X = —Ку + хКг, й = Kx, -J
Z = K- XKx:]
Решение. Точку симплектизации можно задать 2л + 2 числами ш, z, К, где (х, у, z) — координаты точки контактного многообразия, а К — число, на которое надо умножить <о, чтобы получить данную точку симплектизованного пространства.
В этих координатах a = Kx dy-\-K dz. Поэтому в системе координат р, q,
где
P = (P. Po). p = Ь;, p0 = К
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
331
форма а принимает стандартный вид:
а = р dq, da = dp Д dq.
Действие T мультипликативной группы свелось теперь к умножению р на число:
(V, q) = (lip, q).
Контактный гамильтониан К выражается через обычный гамильтониан H = H (р, д, р0, дв) по формуле
К (х, у, г) = #(ж, у, 1, z).
Функция H однородна первой степени по р. Поэтому частные производные К в точке (х, у, z) связаны с производными H в точке (р = х, р0 = 1, q = у, qB = z) соотношениями
Hg = Ky, Я?о = Кг,
Hp = Kx, Hp<i = К—хКх.
Уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона H имеют поэтому в рассматриваемой точке вид
я + хк = —Ky, к = —Kz, У = Kx, z = К—хКх,
откуда и получается приведенный выше ответ.
Задача. Найти контактный гамильтониан скобки Пуассона контактных полей с контактными гамильтонианами К и К'.
Ответ. (К, К') + КгЭК' — К'гЭК, где скобкой обозначена скобка Пуассона по переменным хну, а Э — оператор Эйлера, 9F = F- xFx.
Решение. В обозначениях решения предыдущей задачи требуется выразить обычную скобку Пуассона однородных гамильтонианов Н, H' в точке (р = х, р0 = 1, д = у, д0 = z) через контактные гамильтонианы К, К'. Имеем
