Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
(H, H') = HuHv-HvH'q = нчн'р-HpH'q +ндя;о-HvH-q.
Подставляя значения производных из решения предыдущей задачи, находим в рассматриваемой точке
(H, H') = КуК'х - КҐу + Kx (K' - XKx) - K'z (К ~ хКх).
Л. Лежандровы многообразия. Лагранжевым подмногообразиям симплектического фазового пространства в контактном случае соответствует интересный класс многообразий, которые можно назвать лежандровыми, так как они тесно связаны с преобразованием Лежандра.
Определение. Лежандровым подмногообразием контактного 2п + 1-мерного многообразия называется и-мерное интегральное многообразие поля контактных плоскостей.
Иными словами, это интегральные многообразия наивысшей размерности, которая возможна для интегральных многообразий невырожденного поля плоскостей.
332
ДОБАВЛЕНИЕ 4
Пример 1. Множество всех контактных элементов, касающихся подмногообразия любой размерности в m-мерном многообразии, является лежандровым тп — 1-мерным подмногообразием 2тп — 1-мерного контактного многообразия всех вообще контактных элементов.
Пример 2. Множество всех касательных плоскостей к графику функции / = ф (х) в п + 1-мерном евклидовом пространстве с координатами (X1, . . ., хп; /) является лежандровым подмногообразием в 2в + 1-мерном пространстве всех невертикальных гиперплоскостей в пространстве графика (контактная структура задается 1-формой
to = P1Ux1 + . . . + pndxn — df,
плоскость с координатами (р, х, f) проходит через точку с координатами (х, f) параллельно плоскости / = P1X1 + . . . + PnXn).
Преобразование Лежандра описывается в этих терминах следующим образом.
Рассмотрим еще второе 2п + 1-мерное контактное пространство с координатами (P, X, F) и контактной структурой, заданной формой
Q = P dX - dF.
Инволюцией Лежандра называется отображение, переводящее точку первого пространства с координатами (р, х, f) в точку второго с координатами
P = х, Х=р, F = px — f.
Инволюция Лежандра, как легко сосчитать, переводит первую контактную структуру во вторую. Очевидна
Теорема. Диффеоморфизм одного контактного многообразия на другое, переводящий контактные плоскости в контактные, переводит каждое лежандрово многообразие в лежандрово.
В частности, под действием инволюции Лежандра лежандрово подмногообразие касательных к графику функции плоскостей переходит в новое лежандрово многообразие. Это новое многообразие называется преобразованием Лежандра исходного.
Проекция нового многообразия на пространство с координатами X, F (параллельно Р-направлению), вообще говоря, не является гладким многообразием, но имеет особенности. Эта проекция называется преобразованием Лежандра графика функции ф.
Если функция ф выпукла, то проекция сама является графиком функции F = Ф (X). В этом случае функция Ф называется преобразованием Лежандра функции ф.
В качестве другого примера рассмотрим движение ориентированных контактных элементов под действием геодезического потока на римановом многообразии. Возьмем в качестве «началь-
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
333
ного волнового фронта» какое-нибудь гладкое подмногообразие нашего риманова многообразия (размерность подмногообразия может быть любой). Все ориентированные контактные элементы, касающиеся этого подмногообразия, образуют лежандрово многообразие в пространстве вообще всех контактных элементов. Мы получаем из предыдущей теоремы
Следствие. Семейство всех касательных к волновому фронту элементов преобразуется под действием геодезического потока за время t снова в лежандрово многообразие пространства всех контактных элементов.
Следует заметить, что это новое лежандрово многообразие может не быть семейством всех элементов, касательных к какому-либо гладкому многообразию, так как на волновом фронте могут возникать особенности.
Возникающие таким образом лежандровы особенности можно описать аналогично лагранжевым (см. добавление 12). Лежандрово расслоение в 2п + 1-мерном контактном многообразии — это расслоение, все слои которого — лежандровы гс-мерные многообразия. Лежандровы особенности — это особенности проектирования /г-мерных лежандровых подмногообразий 2п + 1-мерного контактного многообразия на п + 1-мерную базу лежандрова расслоения.
Рассмотрим пространство R2"+1 с контактной структурой, заданной формой a = X dy + dz, где х = (X1, . . ., хп), у = (yt, . . . . . ., уп). Проекция (х, у, z) (у, z) задает лежандрово расслоение.
Эквивалентностью лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий контактную структуру и слои первого расслоения в контактную структуру и слои второго. Можно доказать, что всякое лежандрово расслоение эквивалентно только что описанному специальному в окрестности каждой точки пространства расслоения.
Контактная структура пространства расслоения задает на слоях локальную структуру проективного пространства. Лежандровы эквивалентности сохраняют эту структуру, т. е. задают локально проективные преобразования слоев.
Следующая теорема позволяет локально описывать лежандровы подмногообразия и отображения при помощи производящих функций.
