Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 133

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 195 >> Следующая


образий с симметриями (Rep. Math. Ehys.— 1974.— V. 5.— P. 121-130).

А. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (M2™, о2), и пусть группа Ли G действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы G действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М. Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона.

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — какая-либо группа Ли его диффеоморфизмов. Каждый диффеоморфизм переводит 1-формы на V в 1-формы. Поэтому группа G действует на кокасательном расслоении M = = T*V.

Напомню, что на кокасательном расслоении всегда имеется каноническая 1-форма а («форма pdq»), и естественная симплектическая структура со = da. Действие группы G на M симплектическое, так как оно сохраняет 1-форму а, а значит, и 2-форму da.

Однопараметрическая подгруппа {g1} группы G задает на M фазовый поток. Легко проверить, что этот фазовый поток имеет однозначную функцию Гамильтона. А именно, функция Гамильтона H дается формулой теоремы Нётер

Теперь мы предположим, что задано такое симплектическое действие группы Ли G на связном симплектическом многообразии М, что каждому элементу а алгебры Ли группы G соответствует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов с однозначным гамильтонианом На. Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых, которые можно выбрать так, чтобы зависимость На от а была линейной. Для этого достаточно как угодно выбрать константы в функциях Гамильтона для каких-нибудь базисных векторов алгебры Ли группы G и затем определить функцию Гамильтона для любого элемента алгебры как линейную комбинацию базисных.

Итак, по симплектическому действию группы Ли G с однозначными на M гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы G в алгебру Ли функций Гамильтона на M. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона (Hа, Нь) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную:

Замечание. Появление константы С в этой формуле является следствием интересного явления: существования двумерного класса когомологий алгебры Ли (глобально) гамильтоновых полей.

Величина С (а, Ь) является билинейной кососимметрической функцией на алгебре Ли. Из тождества Якоби вытекает, что

Билинейная кососимметрическая функция на алгебре Ли с таким свойством называется двумерным коциклом алгебры Ли.

где X = M.

Ніа,щ = (На,Нь) + С(а, Ь).

C(Ia, Ъ], с)+С ([Ь, с], а)+ С ([с, а], Ъ) = 0.

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СИММЕТРИЕЙ

339

Если выбрать константы в функциях Гамильтона по-другому, то коцикл С заменится на С, где

С (а, Ь) = С (а, Ь) + р ([а, Ь])

и где р — линейная функция на алгебре Ли.

Такой коцикл С называется когомологичным коциклу С.

Класс когомологичных друг другу коциклов называется классом кого-мологий алгебры Ли.

Итак, симплектическое действие группы G, при котором существуют однозначные гамильтонианы, задает двумерный класс когомологий алгебры Ли группы G. Этот класс когомологий измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона функций Гамильтона.

Определение. Действие связной группы Ли на симплектической многообразии называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона:

Н[а, Ь] = (На, Н~ъ).

Иными словами, пусссоновское действие группы задает гомоморфизм алгебры Ли этой группы в алгебру Ли функций Гамильтона.

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть M= T*V— кока-сательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой ш = da. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше:

HJx) = а (J. ц g's) , X є TW. (і)

Теорема. Построенное действие пуассоновское.

Доказательство. По определению 1-формы а функции Гамильтона Hа линейные однородные «по импульсам» (т. е. на каждом кокасательном пространстве). Следовательно, и их скобки Пуассона линейны и однородны. Итак, функция

Н1а, 6] — (На> Нь)

линейна и однородна по импульсам. Будучи константой, она рьвна нулю, что и требовалось доказать.

Аналогично проверяется, что симплектизации всякого контактного действия является пуассоновским действием.

Пример. Пусть V — трехмерное евклидово пространство, a G — шестимерная группа его движений. Базис алгебры Ли образуют шесть однопараметрических групп: сдвиги со скоростью 1 вдоль координатных осей qu q2, q3 и вращения с угловой скоростью 1 вокруг этих осей. Соответствующие функции Гамильтона, согласно формуле (1), равны (в обычных обозначениях) Pi, P2. Pa, M1, M2, M9, где M1 = q2p3 — q3p2 и т. д. Доказанная теорема означает, что попарные, скобки Пуассона этих шести функций равны функциям Гамильтона коммутаторов соответствующих однопараметрических групп.
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed