Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Для любого разбиения I + / множества индексов (1, . . ., п) на два непересекающихся подмножества и для любой функции S (xi, yj) от п переменных xt, і E= I и yi, j ЄЕ J, формулы
Vi =
Xj =
z = S-
задают лежандрово подмногообразие в R2"+1. Обратно, каждое лежандрово подмногообразие в R2n+i в окрестности каждой своей
334
ДОБАВЛЕНИЕ 4
точки задается указанными формулами хотя бы при одном из 2" возможных выборов подмножества I.
Доказательство основано на том, что на лежандровом многообразии dz + X dy = 0, поэтому d (z + xiyi) = yidxi — xjdyj.
Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве S функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения (х, у, z) ь*- (у, Z) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции S). Всякое лежандрово отображение при п < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка Лк (1 < к < 6), ?>к (4 < к < 6), E6.
В частности, мы получаем список особенностей волновых фронтов общего положения в пространствах менее 7 измерений.
В обычном трехмерном пространстве этот список таков:
A1: S = ±х\, A2: S = ±х\; A3 : S = ±х\ + х\у2,
где / = {1}, / = {2}, п = 2.
Проекции указанных здесь лежандровых многообразий на базу лежандрова расслоения (т. е. на пространство с координатами JZ1, у2, z) имеют соответственно простую точку в случае A1, ребро возврата в случае A2 и ласточкин хвост (см. рис. 246) в случае A3.
Таким образом, волновой фронт общего положения в трехмерном пространстве имеет только ребра возврата и точки типа «ласточкин хвост». При движении фронта в отдельные моменты времени наблюдаются еще перестройки трех типов A4, D1, D4 (см. добавление 12, где нарисованы соответствующие каустики, заметаемые особенностями фронта при его движении).
Задача 1. Отложим на каждой внутренней нормали к эллипсу на плоскости отрезок длины t. Нарисовать полученную кривую и исследовать ее особенности и их перестройки при изменении t.
Задача 2. Проделать то же для трехосного эллипсоида в трехмерном пространстве.
М. Контактизация. Наряду с симплектизацией контактных многообразий существует контактизация симплектических, имеющих гомологичную нулю симплектическую структуру.
Контактизация 1?21г+1 симплектического многообразия (М2п, со2) строится как пространство расслоения со слоем R над М2п.
Пусть U — достаточно малая окрестность точки х из M, в которой существует система канонических координат р, q, так что со = dp Д dq. Рассмотрим прямое произведение U X R с координатами р, q, z.
Пусть FxR — такое же произведение, построенное по другой (или по той же) окрестности V, с координатами/5, О,Z; dP Д Д dQ = со. Если окрестности U и V на M пересекаются, то мы
КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
335
отождествим слои над точками пересечения в обоих произведениях так, чтобы форма dz + р dq = dZ + P dQ = а была определена в целом (это возможно, так как P dQ — р dq — полный дифференциал на U П У)-
Легко проверить, что в результате склеивания возникает расслоение Е2п+1 над М2п, и что форма а задает на E контактную структуру. Многообразие E называется контактпизацией симплек-тического многообразия М. Если класс гомологии формы со2 целочисленный, то можно определить контактизацию со слоем S1.
Н. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Пусть М2п+1 — контактное многообразие, Ein — гиперповерхность в M2^1+1. Контактная структура M определяет на E некоторую геометрическую структуру, в частности — поле так называемых характеристических направлений. Анализ этой геометрической структуры позволяет свести интегрирование общих нелинейных уравнений с частными производными первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Мы предположим, что многообразие Е2п трансверсально контактным плоскостям во всех своих точках. В таком случае пересечение касательной плоскости к Е2п в каждой точке с контактной плоскостью имеет размерность 2п — 1, так что на Е2П возникает поле гиперплоскостей. Более того, контактная структура М2п+1 определяет на Е2п поле прямых, лежащих в указанных 2п — 1 -мерных плоскостях.
Действительно, пусть а — 1-форма на М2п+1, локально задающая контактную структуру, пусть со = da, и пусть R2" — контактная плоскость в точке X из Е2п. Пусть Ф = 0 — локальное уравнение Е2п (так что аФ в х не 0).
Сужение аФ на R2n задает ненулевую линейную форму в R2n. 2-форма со задает в R2™ структуру линейного симплектического пространства, и стало быть, изоморфизм этого пространства с сопряженным к нему. Ненулевой 1-форме аФ | R2" соответствует поэтому ненулевой вектор I из R2n, так что аФ (•) = со (|, •). Вектор \ называется характеристическим вектором многообразия E271 в точке х. Характеристический вектор ? лежит в пересечении R2n с касательной к Е2п плоскостью, так как аФ ( ) = 0.
Вектор I определен многообразием Е2п и контактной структурой на M не однозначно, а с точностью до умножения на отличное от 0 число. Действительно, как 2-форма со на R2", так и 1-форма аФ на R2n определены с точностью до умножения на отличное от 0 число.
