Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Два компактных волновых фронта F0, Fі на плоскости называются кобордантными, если в прямом произведении плоскости на отрезок существует трансверсальный плоскостям / = O и t= 1 компактный фронт К, пересечение которого с первой из них есть F0, а со второй — Fі (рис. 57). Фронт К называется
кобордизмом. Мы различаем случаи ориентированных и неориентированных, вооруженных (коориентированных) или невооруженных фронтов и кобордизмов. Воружение кобордизма К индуцирует вооружение края dK = F0(jFi, которое должно совпадать с собственным вооружением фронтов F0, Fі (т. е. совпадающие, но распространяющиеся в разные стороны фронты считаются разными и могут быть не кобордантными). То же самое относится и к ориентации. Сложение фронтов определяется как их несвязное объединение. Эта операция наделяет множество классов кобордантных фронтов структурой комму-
1
Рис. 57
123" тативной полугруппы. В рассматриваемых случаях она оказывается группой. Нулем служит класс пустого фронта.
Теорема ([5]). Группа классов кобордизма вооруженных ориентированных фронтов на плоскости — свободная циклическая (образующая — класс «бантика», рис. 58а), вооруженных неориентированных — тривиальна, невооруженных — конечна: Z2©Z2 для ориентированных и Z2 — для неориентированных фронтов (образующими можно взять классы «капель», рис. 586, различающихся ориентацией в ориентируемом случае).
Единственным инвариантом класса кобордизма вооруженного ориентированного фронта на плоскости служит его индекс — число точек возврата (или число точек перегиба) с учетом знаков, рис. 58 в. Индекс компактного фронта в R2 четен.
Следствие 1. Алгебраическое число точек возврата (перегиба) компактного следа на плоскости от распространяющегося в пространстве ориентированного волнового фронта четно и не меняется со временем.
Индекс фронта следующим образом связан с индексом Маслова. Вооруженный фронт в R2 определяет коническую лагранжеву поверхность L в Т*R2 ковекторов, равных нулю на касающемся фронта контактном элементе и положительных на вооружающей нормали. Для фронта общего положения L гладко иммерсирована в Т*R2. Скалярное произведение в R2 определяет иммерсию фронта в L (точке фронта отвечает ко-вектор, равный 1 на орте вооружающей нормали). Индекс ориентированного фронта в R2 равен индексу Маслова построенной кривой на L,
Вычисление описанных в теореме групп кобордизмов основано на информации о перестройках волновых фронтов из п. 3.4 гл. 5. Так, неориентированная кобордантность нулю вооруженного бантика вытекает из серии перестроек рис. 59, использующей локальные перестройки Л2 и A3 рис. 48.
Рис. 58
<Х> <xg- у<( 21 ^rr *
124"
Рис. 59 Кобордизм к фронтов определяет иммерсированное лежандрово многообразие своих контактных элементов в многообразии всех контактных элементов произведения плоскости на отрезок.
Следствие 2. Бутылка Клейна (F. Klein) допускает ле-жандрову иммерсию в R5.
Эта иммерсия индуцируется перестройкой рис. 59 вместе с обратной серией: перестраивающиеся фронты на этом рисунке всюду имеют невертикальную касательную и их объединение заклеивает «бантик» листом Мебиуса (А. F. Mobius).
Теорема ([5], ср. п. 2.4, гл. 4). Компактные связные двумерные многообразия с четной эйлеровой характеристикой допускают лежандрову иммерсию в контактное пространство R5, а с нечетной — не допускают даже лагранжевой иммерсии в R4.
§ 2. Кобордизмы
В [5] определены около двух десятков различных теорий лагранжевых и лежандровых кобордизмов и вычислены соответствующие группы классов кобордантных кривых. Здесь мы рассмотрим в основном кобордизмы точных лагранжевых иммерсий — теорию, в которой получены наиболее законченные результаты.
2.1. Лагранжев и лежандров край. Пусть в пространстве кокасательного расслоения многообразия с краем задано иммерсированное лагранжево подмногообразие Lc^T*M, трансверсаль-ное краю д(Т*М). При отображении д(Т*М)-+Т* (дМ) (ковек-тору в точке края сопоставляется его ограничение на край) пересечение Lf\d(T*M) проектируется в иммерсированное лагранжево подмногообразие дЬ пространства кокасательного расслоения края. дЬ называется лагранжевым краем многообразия L.
Лежандров край dL иммерсированного в пространство 1-струй функций на многообразии с краем лежандрова многообразия L WM1 трансверсального краю ^(Z1Af), определяется аналогично с помощью проекции д(J1M)-+]1 (дМ) (1-струе функции в точке края сопоставляется 1-струя ограничения функции на край). Подобным образом можно определить край лежандрова подмногообразия в пространстве (коориентирован-ных) контактных элементов на многообразии с краем.
Лагранжевым кобордизмом компактных лагранжевых им-мерсированных подмногообразий L0, LX<^T*M называется иммерсированное лагранжево подмногообразие пространства Г*(Л4х[0, 11)—кокасательного расслоения цилиндра над М, лагранжев край которого есть разность LiXl и L0XO (для ориентированных кобордизмов изменение ориентации многообразия меняет его знак). Многообразия L0, Lx называются лагранжево (ориентированно) кобордантными, если существует лагранжев ориентированный кобордизм между ними.
