Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
125" Аналогично определяются лежандровы кобордизмы. В этом случае вместо кобордизма лежандровых многообразий можно говорить прямо о кобордизме фронтов. Теория кобордизмов лежандровых иммерсий в пространстве 1-струй функций эквивалентна теории кобордизмов точных лагранжевых иммерсий: при проекции JlM->T*M лежандровы иммерсированные подмногообразия переходят в такие лагранжевы иммерсированные многообразия, на которых 1-форма действия точна, и обратно (см. п. 2.3, гл. 4).
2.2. Кольцо классов кобордизма. Лагранжевы (лежандровы) иммерсии многообразий Lb L2 одинаковой размерности в симплектическое (контактное) многообразие задают иммерсию их несвязного объединения в это многообразие, называемую суммой исходных иммерсий.
Лемма ([51). Классы лагранжево (лежандрово) кобор-дантных иммерсий в T*M(J1M, РТ*М или ST*M) образуют абелеву группу относительно операции сложения.
В самом простом и важном случае M = Rn определим произведение (точных) лагранжевых иммерсий L\^~T*Rn, L2c^ <^~T*Rm как (точную) лагранжеву иммерсию прямого произведения L1XL2 в T*Rn+m = T*R'lxT*Rm. Соответствующие классы кобордизмов образуют относительно введенных операций косо-коммутативное градуированное кольцо.
Теорема ([3], [35], [69]). 1) Градуированное кольцо KLli.= = @3JLft классов неориентированного лежандрова кобордизма
в пространствах 1-струй функций в Rft изоморфно градуированному кольцу Z2 \х5, xs, хи, ...] полиномов с коэффициентами в Z2 от образующих Xk нечетных степеней k=f= 2r—1.
2) Градуированное кольцо Lri. = ©L/; классов ориентированного
лежандрова кобордизма в пространствах 1-струй функций в Rft изоморфно по модулю кручения внешней алгебре над Z с образующими степеней 1, 5, 9, ..., 4/г + 1, ....
Мы далеки от того, чтобы доказывать эту теорему, но приведем основные результаты на пути к ее доказательству.
2.3. Векторные расслоения с тривиальной комплексифика-цией. Каждое fe-мерное векторное расслоение с конечной клеточной базой X может быть индуцировано из универсального классифицирующего расслоения Iu- В качестве последнего можно взять тавтологическое расслоение над грассмановым многообразием G^, h всех ^-мерных подпространств в пространстве Rjv растущей размерности N (слоем тавтологического расслоения над точкой служит отвечающее ей ^-мерное подпространство). Индуцирование расслоения над X при непрерывном отображении X-+Gh устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных ^-мерных векторных расслоений с базой X и классами гомотопных отображений X в классифицирующее пространство В кате-
126" гории ориентированных векторных расслоений роль классифицирующих пространств играют грассманианы G to,h' ориентированных ^-мерных подпространств.
Пусть комплексификация вещественного fe-мерного векторного расслоения над X тривиальна и тривиализация фиксирована.
Пример: комплексификация касательного пространства L к лагранжеву многообразию, иммерсированному в овеществление R2ft эрмитова пространства Cfe канонически изоморфна Cft = LetX.
Сопоставляя точке из X подпространство в СА, с которым слой над ней отождествляется при тривиализации, получаем отображение X в грассманово многообразие fe-мерных вещественных подпространств L в Cft, для которых LflfL = O. Этот грассманиан гомотопически эквивалентен лагранжеву грасс-маниану Aft.
Теорема ([251). Тавтологическое расслоение Kh(Xk+) над (ориентированным) лагранжевым грассманианом Ah(Ak+) является классифицирующим в категории ^-мерных (ориентированных) векторных расслоений с тривиализованной комп-лексификацией.
<ХГ[>
Рис. 60
2.4. Кобордизмы гладких многообразий. В этой классической теории два замкнутых многообразия (никуда не иммерси-рованных) называются кобордантными, если их разность является краем какого-нибудь компактного многообразия с краем. При вычислении соответствующих групп кобордизмов ключевую роль играет следующая конструкция. Пространством Тома (R. Thom) Г| векторного расслоения g с компактной базой называется одноточечная компактификация пространства этого расслоения (рис. 60). Индуцированию расслоения g из расслоения г] при отображении баз Х->У отвечает отображение Г|->Гг] пространств Тома, переводящее отмеченную точку (оо) в отмеченную. Пусть компактное n-мерное многообразие M
127" вложено в сферу большой размерности n + k. Стягивание в точку дополнения к трубчатой окрестности M в Sn+k задает отображение Sn+h-+Tv сферы в пространство Тома нормального расслоения многообразия М. Индуцирование нормального расслоения из классифицирующего расслоения \к доставляет отображение Tv-+Th,k пространств Тома, которое в композиции с первым определяет отображение Sn+,,->-—+T"gh. Аналогичная конструкция, примененная к вложенному в S11+aX [0, 1] кобордизму многообразий, показывает, что классу кобордизма отвечает класс гомотопных отображений SТ. е. элемент гомотопической Группы nn+h(T%h, Обратно, прообраз нулевого сечения G„, ^ T\h при трансвер-сальном к нему отображении сферы Sесть гладкое n-мерное подмногообразие в Sn+h, а прообраз нулевого сечения при трансверсальной ему гомотопии Sn+feX[0, 1]—+Tilh есть кобордизм таких многообразий.
